Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
Temos também as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos achar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores específicos das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por 2 para facilitar:
Agora, para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem $ ay’’ + by’ + cy = 0 $ é:
No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = \frac{1}{2} $. Então, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática $ r^2 - r + \frac{1}{2} = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz deu negativo, teremos soluções complexas. Podemos escrever $ \sqrt{-1} = i $, onde $ i $ é a unidade imaginária.
Passo 5
As raízes são:
Isso significa que a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = -1 $:
Então, $ C_1 = -1 $.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada $ y’(x) $ para aplicar a segunda condição $ y’(0) = 0 $:
Avaliando em $ x = 0 $:
Substituindo $ C_1 = -1 $ e $ y’(0) = 0 $:
Passo 8
Agora que temos $ C_1 = -1 $ e $ C_2 = -1 $, substituímos na solução geral:
Podemos reescrever isso como: