Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
2 d^2 yd x^2-2 d yd x+y=0, y(0)=-1, y^prime(0)=0
Resposta: y=-e^x / 2 cos (x / 2)+e^x / 2 sen(x / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
2 d^2 yd x^2 - 2 d yd x + y = 0
Temos também as condições iniciais:
y(0) = -1
y'(0) = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos achar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores específicos das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por 2 para facilitar:
d^2 yd x^2 - d yd x + 12y = 0
Agora, para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem $ ay’’ + by’ + cy = 0 $ é:
ay'' + by' + cy = 0
No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = \frac{1}{2} $. Então, a equação característica fica:
ar^2 + br + c = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática $ r^2 - r + \frac{1}{2} = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - r + 12 = 0
Como a raiz deu negativo, teremos soluções complexas. Podemos escrever $ \sqrt{-1} = i $, onde $ i $ é a unidade imaginária.

Passo 5

As raízes são:
r = 12 pm i2
Isso significa que a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^12x ( C1 cos(12x) + C2 sin(12x) )
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = -1 $:
y(0) = -1
Então, $ C_1 = -1 $.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada $ y’(x) $ para aplicar a segunda condição $ y’(0) = 0 $:
y'(x)
Avaliando em $ x = 0 $:
y'(0) = 0
Substituindo $ C_1 = -1 $ e $ y’(0) = 0 $:
y'(x) = 12 e^12x ( -C1 cos(12x) + C2 sin(12x) ) + e^12x ( -12 C1 sin(12x) + 12 C2 cos(12x) )
x = 0
y'(0) = 12 ( -C1 cdot 1 + C2 cdot 0 ) + ( -12 C1 cdot 0 + 12 C2 cdot 1 ) = -12 C1 + 12 C2

Passo 8

Agora que temos $ C_1 = -1 $ e $ C_2 = -1 $, substituímos na solução geral:
C1 = -1
C2 = -1
Podemos reescrever isso como:
y(x) = e^12x ( -1 cdot cos(12x) -1 cdot sin(12x) )

Resposta

y = -e^x / 2 cos (x2) + e^x / 2 sin(x2)

Exercícios relacionados