Resolva as equações diferenciais ordinárias abaixo utilizando o método de séries de potências centradas em x=0. Apresente todos os passos de forma clara.
y^prime prime+(1+x^2) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + l(1 + x^2r)y = 0
usando séries de potências centradas em x=0. Vamos assumir uma solução da forma
y = sumn=0^infty an x^n,
calcular as derivadas em série, substituir na equação e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Assumimos
y = sumn=0^infty an x^n
Então a segunda derivada é
y'' = sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2 = sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n

Passo 3

Substituindo y, y'' e x^2y na equação
y'' + y + x^2y = 0
temos
sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n ;+; sumn=0^infty an,x^n ;+; sumn=0^infty an,x^n+2 ;=;0
Na última soma trocamos nto n-2 para alinhar as potências de x:
sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n +sumn=0^infty anx^n +sumn=2^infty an-2x^n =0

Passo 4

Igualando coeficientes de x^n a zero, separamos os casos n=0,1 e n>=2:
Para n=0:
2cdot1,a2 + a0 = 0 Longrightarrow a2 = -a02
Para n=1:
3cdot2,a3 + a1 = 0 Longrightarrow a3 = -a16
Para n>=2:
(n+2)(n+1),an+2 + an + an-2 = 0 Longrightarrow an+2 = -an + an-2(n+2)(n+1)

Passo 5

Separando as séries pares e ímpares, tomamos a0 e a1 como constantes livres e calculamos alguns termos:
Série par ( a0 livre):
a2 = -a02, a4 = -a2 + a04cdot3 = -a024, a6 = -a4 + a26cdot5 = 13,a0720,;dots
Logo
ypar = a0l(1 - tfracx^22 - tfracx^424 + tfrac13,x^6720 + cdotsr)
Série ímpar ( a1 livre):
a3 = -a16, a5 = -a3 + a15cdot4 = -a124,;dots
Logo
yímpar = a1l(x - tfracx^36 - tfracx^524 + cdotsr) í

Resposta

A solução geral em série de potências é
y = C1l(1 - tfracx^22 - tfracx^424 + tfrac13,x^6720 + cdotsr) ;+; C2l(x - tfracx^36 - tfracx^524 + cdotsr),
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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