Resolva as equações diferenciais ordinárias abaixo utilizando o método de séries de potências centradas em
. Apresente todos os passos de forma clara.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando séries de potências centradas em
. Vamos assumir uma solução da forma
calcular as derivadas em série, substituir na equação e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Assumimos
Então a segunda derivada é
Passo 3
Substituindo
,
e
na equação
temos
Na última soma trocamos
para alinhar as potências de
:
Passo 4
Igualando coeficientes de
a zero, separamos os casos
e
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Separando as séries pares e ímpares, tomamos
e
como constantes livres e calculamos alguns termos:
Série par (
livre):
Logo
Série ímpar (
livre):
Logo
Resposta
A solução geral em série de potências é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.