Calcular
integralC(x y cos (x^2)+z x e^x) d x+(sen(x^2)2+yy^2+1) d y+(x e^x-e^x) d z
onde C: alpha(t)=(t^3, sen(t pi2), cos (t pi)) ; t in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCP,dx+Q,dy+R,dz
com
P(x,y,z)=x,ycos(x^2)+z,x e^x, Q(x,y,z)=sin(x^2)2+yy^2+1, R(x,y,z)=x e^x-e^x,
sobre a curva parametrizada por
alpha(t)=l(t^3,;sin!l(tfracpi t2r),;cos(pi t)r), tin[0,1]
O plano é usar que, se o campo (P,Q,R) é conservativo em todo R^3, então
integralCP,dx+Q,dy+R,dz =Phil(alpha(1)r)-Phil(alpha(0)r),
onde Phi é um potencial.

Passo 2

Verificamos que o campo é conservativo, checando as derivadas cruzadas:
partial Ppartial y =partialpartial yl(x,ycos(x^2)+z,x e^xr) =xcos(x^2),
partial Qpartial x =partialpartial xl(sin(x^2)2+yy^2+1r) =12cdot2xcos(x^2) =xcos(x^2),
partial Ppartial z =partialpartial zl(z,x e^xr) =x e^x, partial Rpartial x =partialpartial xl(x e^x-e^xr) =e^x+x e^x-e^x =x e^x,
partial Qpartial z=0, partial Rpartial y=0
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, partial P/partial z=partial R/partial x e partial Q/partial z=partial R/partial y, o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos Phi(x,y,z) tal que
partialPhi/partial x=P. Integramos em x:
Phi(x,y,z) =integrall(x,ycos(x^2)+z,x e^xr)dx =yintegral xcos(x^2)dx +zintegral x e^xdx +;g(y,z)
Como integral xcos(x^2)dx=tfrac12sin(x^2) e integral x e^xdx=x e^x-e^x, obtemos
Phi(x,y,z) =ysin(x^2)2 +zl(x e^x-e^xr) +g(y,z)
Agora exigimos partialPhi/partial y=Q:
partialPhipartial y =sin(x^2)2+partial gpartial y overset!=sin(x^2)2+yy^2+1 ;Longrightarrow; partial gpartial y=yy^2+1
Integramos em y:
g(y,z)=12lnl(y^2+1r)+h(z)
Finalmente partialPhi/partial z=R
x e^x-e^x+h'(z)=x e^x-e^x ;Longrightarrow; h'(z)=0;Rightarrow;h(z)=const
Podemos tomar a constante zero. Logo
Phi(x,y,z) =ysin(x^2)2 +zl(x e^x-e^xr) +12lnl(y^2+1r)

Passo 4

Calculamos Phi nos extremos da curva. Em t=1:
alpha(1)=(1,,1,,-1),
Phil(1,1,-1r) =1cdotsin(1)2 +(-1)l(1cdot e^1-e^1r) +12ln2 =sin(1)2+0+ln22
Em t=0:
alpha(0)=(0,,0,,1),
Phil(0,0,1r) =0cdotsin(0)2 +1l(0cdot e^0-e^0r) +12ln1 =0-1+0=-1
Portanto
integralCP,dx+Q,dy+R,dz =Phil(alpha(1)r)-Phil(alpha(0)r) =l(sin(1)2+ln22r)-(-1) =1+sin(1)2+ln22

Resposta

1+sin(1)2+ln 22

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