Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
A questão pede para resolver a EDO de primeira ordem
. O conteúdo é equações exatas (ou fator integrante, se não forem exatas). Para isso vamos testar exatidão e, se necessário, achar um fator integrante.
. O conteúdo é equações exatas (ou fator integrante, se não forem exatas). Para isso vamos testar exatidão e, se necessário, achar um fator integrante.
Passo 2
Colocamos a equação na forma diferencial
, ou seja, definimos
e
.
Passo 3
Testamos exatidão calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata e não precisa de fator integrante.
Passo 4
Para achar a função potencial
tal que
e
, integramos
em relação a
:
em seguida derivamos em
:
e igualamos a
. Logo
e
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a solução implícita:
Resposta
A solução geral é
.