Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
y^prime=3 x^2-yx-3 y^2

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO de primeira ordem

. O conteúdo é equações exatas (ou fator integrante, se não forem exatas). Para isso vamos testar exatidão e, se necessário, achar um fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma diferencial
(3x^2-y),dx-(x-3y^2),dy=0
, ou seja, definimos
e
.

Passo 3

Testamos exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=-1, partial Npartial x=-1
Como
partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata e não precisa de fator integrante.

Passo 4

Para achar a função potencial F(x,y) tal que
Fx=M e Fy=N, integramos M em relação a x:
F(x,y)=integral(3x^2-y),dx=x^3-xy+h(y),
em seguida derivamos em y:
Fy=-x+h'(y)
e igualamos a N=-x+3y^2. Logo
h'(y)=3y^2
e
h(y)=y^3

Passo 5

Substituindo h(y) em F(x,y), obtemos a solução implícita:
F(x,y)=x^3-xy+y^3=C

Resposta

A solução geral é x^3 - x y + y^3 = C.

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