Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
Estamos diante da equação diferencial de primeira ordem
que não é exata. O conteúdo é o de equações exatas e fatores integrantes. Vamos verificar se existe um fator integrante em
ou em
que torne a equação exata.
Passo 2
Para testar exatidão definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos primeiro um fator integrante
. A condição seria
depender apenas de
, o que não ocorre. Em seguida testamos
com a condição
que depende somente de
(é constante). Logo existe um fator integrante em
.
Passo 4
O fator integrante é
Multiplicando a equação original por
obtemos
com
que de fato satisfaz
, ou seja, é exata.
Passo 5
Procuramos a função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
Derivando em relação a
e igualando a
determina-se
, logo
constante.
Passo 6
A solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária.
Resposta
Fator integrante:
Solução geral (implícita):
Solução geral (implícita):