Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(x^2+y^2) d x+(x^3+3 x y^2+2 x y) d y=0

Passo 1

Estamos diante da equação diferencial de primeira ordem
l(x^2+y^2r),dx+l(x^3+3xy^2+2xyr),dy=0
que não é exata. O conteúdo é o de equações exatas e fatores integrantes. Vamos verificar se existe um fator integrante em x ou em y que torne a equação exata.

Passo 2

Para testar exatidão definimos
M(x,y)=x^2+y^2, N(x,y)=x^3+3xy^2+2xy
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=3x^2+3y^2+2y
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos primeiro um fator integrante mu(x). A condição seria
partial Mpartial y-partial Npartial xN
depender apenas de x, o que não ocorre. Em seguida testamos mu(y) com a condição
partial Npartial x-partial Mpartial yM =3x^2+3y^2x^2+y^2=3,
que depende somente de y (é constante). Logo existe um fator integrante em y.

Passo 4

O fator integrante é
mu(y)=expl(integral 3,dyr)=e^3y
Multiplicando a equação original por e^3y obtemos
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0,
com
M^*=e^3y(x^2+y^2), N^*=e^3y(x^3+3xy^2+2xy),
que de fato satisfaz partial M^*/partial y=partial N^*/partial x, ou seja, é exata.

Passo 5

Procuramos a função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M^* =e^3y(x^2+y^2)
Integramos em relação a x:
Phi(x,y) =integral e^3y(x^2+y^2),dx =e^3yl(x^33+x,y^2r)+h(y)
Derivando em relação a y e igualando a N^* determina-se h'(y)=0, logo h(y)=constante.

Passo 6

A solução geral implícita é
Phi(x,y)=e^3yl(x^33+x,y^2r)=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

Fator integrante: mu(y)=e^3y
Solução geral (implícita):
e^3yl(x^33+x,y^2r)=C

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