Calcule os comprimentos de arco das seguintes curvas nos intervalos indicados.
y=x^3 / 2, 0 <= x <= 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = x^3/2
no intervalo [0,4]. Para isso vamos usar a fórmula do comprimento de arco para uma função y=f(x):
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada:
dydx = ddxl(x^3/2r) = 32,x^1/2
Logo
1 + l(dydxr)^2 = 1 + 94,x = 4 + 9x4,
e o integrando fica
raiz1 + l(y'r)^2 = 12raiz9x + 4
Assim
L = integral0^4 12,raiz9x + 4;dx

Passo 3

Para avaliar
integral0^4 raiz9x + 4;dx
faremos a substituição u = 9x + 4, de onde du = 9,dx e dx = tfrac19,du. Então
integral raiz9x + 4;dx = integral u^1/2,du9 = 19,23,u^3/2 = 227,u^3/2
Não esqueça do fator tfrac12 que estava fora:
L = 12,gl[227,u^3/2gr]u=4^u=40 = 127l[(40)^3/2 - (4)^3/2r]

Passo 4

Calculamos as potências:
(40)^3/2 = l(raiz40r)^3 = (2raiz10)^3 = 8cdot10raiz10 = 80raiz10, (4)^3/2 = 8
Portanto
L = 127l(80raiz10 - 8r) = 827,l(10raiz10 - 1r)

Resposta

L = 827,l(10raiz10 - 1r)

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