Use o método dos discos para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo x. Esboce a região, o sólido e um disco típico.
y=1-x^2, y=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada por
y = 1 - x^2
e
y = 0
Isso usa o método dos discos (ou discos de espessura dx), em que cada fatia a uma certa abscissa x gera um disco de raio igual à ordenada da curva.

Passo 2

Primeiro encontramos onde a curva cruza o eixo x, resolvendo
1 - x^2 = 0
que dá
x = -1, x = 1
Logo a região está entre x=-1 e x=1, sob a parábola voltada para baixo e acima de y=0.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, um disco típico em abscissa x tem raio
R(x) = y = 1 - x^2
e espessura dx. A área desse disco é
A(x) = pil[R(x)r]^2 = pil(1 - x^2r)^2,
e seu volume elementar é
dV = A(x),dx = pil(1 - x^2r)^2,dx

Passo 4

O volume total é a integral de dV de x=-1 até x=1:
V = integral-1^1 pil(1 - x^2r)^2,dx
Expandindo o integrando:
l(1 - x^2r)^2 = 1 - 2x^2 + x^4,
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V = piintegral-1^1l(1 - 2x^2 + x^4r),dx

Passo 5

Calculando cada parte:
integral-1^11,dx = 2, integral-1^1x^2,dx = 23, integral-1^1x^4,dx = 25
Portanto
integral-1^1l(1 - 2x^2 + x^4r),dx = 2 - 2cdot23 + 25 = 2 - 43 + 25 = 30 - 20 + 615 = 1615
Multiplicando por pi, obtemos
V = picdot1615 = 16pi15

Resposta

O volume do sólido é 16pi15.

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