Use o método dos discos para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo
. Esboce a região, o sólido e um disco típico.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região limitada por
e
Isso usa o método dos discos (ou discos de espessura
), em que cada fatia a uma certa abscissa
gera um disco de raio igual à ordenada da curva.
Passo 2
Primeiro encontramos onde a curva cruza o eixo
, resolvendo
que dá
Logo a região está entre
e
, sob a parábola voltada para baixo e acima de
.
Passo 3
Ao girar em torno do eixo
, um disco típico em abscissa
tem raio
e espessura
. A área desse disco é
e seu volume elementar é
Passo 4
O volume total é a integral de
de
até
:
Expandindo o integrando:
logo
Passo 5
Calculando cada parte:
Portanto
Multiplicando por
, obtemos
Resposta
O volume do sólido é
.