Um tanque cilíndrico com comprimento de cinco pés e raio de três pés está colocado com seu eixo na horizontal. Se um buraco circular no fundo com raio de uma polegada é aberto e o tanque inicialmente está pela metade de xilênio, quanto demorará para que o líquido escoe completamente?

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro horizontal de raio R=3 ft e comprimento L=5 ft, inicialmente cheio até a metade de xilênio, drenando por um orifício circular de raio r=1 in =1/12 ft no fundo. Vamos usar a lei de Torricelli e integrar o escoamento até o nível h=0.

Passo 2

Pela lei de Torricelli, a vazão volumétrica é
\frac{dV}{dt}=-A_o\sqrt{2g\,h},
onde A_o=\pi r^2 é a área do orifício e g=32 ft/s ^2.

Passo 3

A variação de volume ao descer de h a h+dh é
dV = L\;w(h)\,dh,
onde w(h) é o comprimento do diâmetro hidráulico na altura h do segmento circular. Calcula-se
w(h)=2\sqrt{R^2-(R-h)^2}=2\sqrt{2R\,h-h^2}.

Passo 4

O tempo total de escoamento é
T=-\int_{V(h_0)}^{V(0)}\frac{dV}{A_o\sqrt{2g\,h}} =\frac{1}{A_o\sqrt{2g}}\int_{0}^{h_0}L\,\frac{w(h)}{\sqrt{h}}\,dh.
Como o tanque está meio cheio, h_0=R=3 ft.

Passo 5

Substituindo w(h)/\sqrt{h}=2\sqrt{2R-h} e h_0=R,
T=\frac{L}{A_o\sqrt{2g}} \int_{0}^{R}2\sqrt{2R-h}\;dh =\frac{2L}{A_o\sqrt{2g}} \int_{0}^{R}\sqrt{2R-h}\;dh.

Passo 6

Avalia-se a integral:
\int_{0}^{R}\sqrt{2R-h}\;dh =\frac{2}{3}\Bigl[(2R)^{3/2}-(2R-R)^{3/2}\Bigr] =\frac{2}{3}\bigl[6\sqrt{6}-3\sqrt{3}\bigr] =4\sqrt{6}-2\sqrt{3}.

Passo 7

Agora A_o=\pi(1/12)^2=\pi/144 ft ^2 e \sqrt{2g}=\sqrt{64}=8 ft/s, logo
T =\frac{2\cdot5}{(\pi/144)\cdot8}\,\bigl(4\sqrt{6}-2\sqrt{3}\bigr) =\frac{360\,(2\sqrt{6}-\sqrt{3})}{\pi}\quad\text{s}.

Passo 8

Em valor numérico:
T\approx\frac{360\times3.16698}{3.1416}\approx362{,}9\text{ s}\approx6{,}05\text{ min}.

Resposta

T=\frac{360\,(2\sqrt{6}-\sqrt{3})}{\pi}\text{ s}\approx363\text{ s}\\ (\approx6,05\text{ min}).

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