Um tanque esférico com raio de quatro pés está cheio de gasolina quando um buraco circular com raio de uma polegada é aberto no fundo. Quanto tempo levará para que toda a gasolina tenha escoado do tanque?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque esférico de raio R=4 ft, cheio de gasolina, com um orifício circular de raio r_h=1 in (ou seja, r_h=\tfrac1{12} ft) aberto no fundo. Queremos o tempo total T até escoar completamente, usando a Lei de Torricelli e relacionando o escoamento com a variação da altura y(t) do líquido.

Passo 2

Escolhemos y como a altura do líquido medida a partir do fundo do tanque. Num instante em que a altura é y, a seção transversal horizontal do líquido é um círculo de raio
\sqrt{R^2-(R-y)^2} =\sqrt{16-(4-y)^2} =\sqrt{8y-y^2}\,.
Logo, a área dessa seção é
A(y)=\pi\bigl(\sqrt{8y-y^2}\bigr)^2 =\pi\,y\,(8-y).
O volume de líquido até a altura y vale
V(y)=\int_0^y A(s)\,\mathrm{d}s =\pi\!\int_0^y\!s(8-s)\,\mathrm{d}s =\pi\Bigl(4y^2-\tfrac{y^3}{3}\Bigr).

Passo 3

Pela Lei de Torricelli, a velocidade de saída do líquido é
v=\sqrt{2g\,y},
onde g\approx 32,ft/s ^2. O orifício tem área
a=\pi\,r_h^2 =\pi\bigl(\tfrac1{12}\bigr)^2 =\tfrac\pi{144}\\ \text{ft}^2.
O volume escoado por segundo é a\,v, e portanto
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =-a\sqrt{2g\,y}.
Como \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=A(y)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}, obtemos
A(y)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =-a\sqrt{2g\,y} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =-\frac{a\sqrt{2g\,y}}{\pi\,y\,(8-y)}.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de y(0)=8 ft até y(T)=0:
T =\int_0^T\mathrm{d}t =\int_8^0 -\frac{\pi\,y\,(8-y)}{a\sqrt{2g\,y}}\,\mathrm{d}y =\frac{\pi}{a\sqrt{2g}}\int_0^8\!\sqrt{y}\,(8-y)\,\mathrm{d}y.

Passo 5

Calculamos o integral
I=\int_0^8\!\bigl(8y^{1/2}-y^{3/2}\bigr)\,\mathrm{d}y =8\cdot\tfrac{2}{3}8^{3/2}-\tfrac{2}{5}8^{5/2} =\Bigl(\tfrac{256}{3}-\tfrac{256}{5}\Bigr)\sqrt2 =\tfrac{512}{15}\sqrt2.
Assim
T =\frac{\pi}{a\sqrt{2g}}\;I =\frac{\pi}{( \pi/144)\sqrt{2g}}\;\frac{512}{15}\sqrt2 =\frac{512\cdot144}{15\,\sqrt{g}}.

Passo 6

Substituindo g=32 ft/s ^2 e calculando numericamente:
T =\frac{512\cdot144}{15\sqrt{32}} \approx\frac{73728}{15\cdot4\sqrt2} \approx868{,}8\\ \text{s},
isto é, cerca de 14{,}5 minutos.

Resposta

O tempo de escoamento completo é aproximadamente 869 segundos, ou cerca de 14{,}5 minutos.

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