Um tanque esférico com raio de quatro pés está cheio de gasolina quando um buraco circular com raio de uma polegada é aberto no fundo. Quanto tempo levará para que toda a gasolina tenha escoado do tanque?
Passo 1
O enunciado descreve um tanque esférico de raio
ft, cheio de gasolina, com um orifício circular de raio
in (ou seja,
ft) aberto no fundo. Queremos o tempo total
até escoar completamente, usando a Lei de Torricelli e relacionando o escoamento com a variação da altura
do líquido.
Passo 2
Escolhemos
como a altura do líquido medida a partir do fundo do tanque. Num instante em que a altura é
, a seção transversal horizontal do líquido é um círculo de raio
Logo, a área dessa seção é
O volume de líquido até a altura
vale
Passo 3
Pela Lei de Torricelli, a velocidade de saída do líquido é
onde
,ft/s
. O orifício tem área
O volume escoado por segundo é
, e portanto
Como
, obtemos
Passo 4
Separamos variáveis e integramos de
ft até
:
Passo 5
Calculamos o integral
Assim
Passo 6
Substituindo
ft/s
e calculando numericamente:
isto é, cerca de
minutos.
Resposta
O tempo de escoamento completo é aproximadamente
segundos, ou cerca de
minutos.