Considere uma pirâmide reta de base quadrada. Chamando de O, A, B e C os vértices da base, de D o vértice superior da pirâmide e de M o centro do quadrado O A B C, encontre o número real \lambda tal que \overrightarrow{D O}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}=\lambda \overrightarrow{D M}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma pirâmide reta de base quadrada com vértices da base O, A, B, C.
  • Vértice superior D.
  • M é o centro do quadrado O A B C.
    O que pede: encontrar o número real \lambda tal que
\overrightarrow{D O}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}=\lambda\,\overrightarrow{D M}.

Passo 2

Escolho como sistema de referência o ponto M como origem de vetores, porque o centro do quadrado tem simetrias que vão simplificar contas. Defino:
\vec{o}=\overrightarrow{M O},\qquad \vec{a}=\overrightarrow{M A},\qquad \vec{b}=\overrightarrow{M B},\qquad \vec{c}=\overrightarrow{M C}, \qquad \vec{d}=\overrightarrow{M D}.
Repare que, nessa escolha, a notação usada satisfaz \overrightarrow{D M}=-\vec{d} (porque \overrightarrow{D M}=\overrightarrow{D O_r}+\overrightarrow{O_r M} e aqui \vec{d}=\overrightarrow{M D}).

Passo 3

Uso a propriedade de somar vetores ao percorrer pontos: para quaisquer pontos X,Y,Z vale
\overrightarrow{X Z}=\overrightarrow{X Y}+\overrightarrow{Y Z}.
Aplicando com X=D,\;Y=M,\;Z=O obtemos
\overrightarrow{D O}=\overrightarrow{D M}+\overrightarrow{M O}.
Analogamente,
\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{D M}+\overrightarrow{M A},\quad \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D M}+\overrightarrow{M B},\quad \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D M}+\overrightarrow{M C}.

Passo 4

Somando as quatro expressões do passo anterior:
\overrightarrow{D O}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C} =4\,\overrightarrow{D M}+(\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}).

Passo 5

Mostro que a soma dos vetores posição das quatro vértices em relação a M é o vetor nulo. Pelo fato de M ser o centro do quadrado, os vértices opostos têm vetores relativos a M que são opostos entre si. Por exemplo, O e B são vértices opostos e portanto
\overrightarrow{M O}=-\overrightarrow{M B},
e A e C também são opostos, logo
\overrightarrow{M A}=-\overrightarrow{M C}.
Somando essas igualdades segue
\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\vec{0}.
(Como alternativa, pode-se ver isso escolhendo coordenadas: por exemplo, se os vértices do quadrado são (-a,-a,0),(a,-a,0),(a,a,0),(-a,a,0) então a soma é (0,0,0).)

Passo 6

Substituindo o resultado do passo 5 na soma do passo 4 obtém-se
\overrightarrow{D O}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}=4\,\overrightarrow{D M}.
Comparando com a forma pedida \lambda\,\overrightarrow{D M}, concluímos que
\lambda=4.

Resposta

4

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