Resolva as equações diferenciais redutíveis a homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que podemos escrever em forma normalizada como
O conteúdo principal é a técnica de transformação por substituições para obter uma equação homogênea.
Passo 2
Note que
não é homogênea, pois existe o termo constante
. Vamos eliminar esse termo constante no numerador por uma translação vertical. Defina
Substituindo
no numerador
, escolhemos
tal que
, ou seja
Então
e o numerador fica
. No denominador
.
Passo 3
Após
a equação torna-se
Ainda há a constante
em
, mas podemos absorvê-la por uma translação horizontal. Defina
de modo que
. A equação vira
onde agora numerador e denominador são homogêneos de grau 1 em
.
Passo 4
Para resolver uma equação homogênea usamos a substituição
Dessa forma
e o lado direito é
Logo a equação fica
Passo 5
Isolando
obtemos
Isto é separável:
Passo 6
Integramos cada lado:
Fazendo frações parciais em
,
e à direita
ln|u| + C . Portanto
onde
K=e^C .
Passo 7
Voltando às variáveis originais:
Substituindo em
v(1-v)^2=K,u e simplificando (dividindo ambos os lados por
u ), chega-se à forma implícita
onde
C é constante arbitrária.
Resposta
onde
C é a constante de integração.