Resolva as equações diferenciais redutíveis a homogêneas:
(x+y) y^prime=2 y-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x+y),y' ;=;2y-1
que podemos escrever em forma normalizada como
dydx ;=;2y-1,x+y,,
O conteúdo principal é a técnica de transformação por substituições para obter uma equação homogênea.

Passo 2

Note que 2y-1x+y não é homogênea, pois existe o termo constante -1. Vamos eliminar esse termo constante no numerador por uma translação vertical. Defina
z = y - h
Substituindo y = z+h no numerador 2y-1 = 2(z+h)-1 = 2z + (2h-1), escolhemos h tal que 2h-1=0, ou seja
h = tfrac12
Então z = y - tfrac12 e o numerador fica 2z. No denominador x+y = x + z + tfrac12.

Passo 3

Após y = z + tfrac12 a equação torna-se
dzdx =2z,x + z + tfrac12,,
Ainda há a constante tfrac12 em x+z+tfrac12, mas podemos absorvê-la por uma translação horizontal. Defina
u = x + tfrac12,
de modo que du/dx=1. A equação vira
dzdu =2z,u+z,,,
onde agora numerador e denominador são homogêneos de grau 1 em (u,z).

Passo 4

Para resolver uma equação homogênea usamos a substituição
v = zu Longrightarrow z = v,u
Dessa forma
dzdu = v + u,dvdu
e o lado direito é
2zu+z =2,v,uu(1+v) =2v1+v,
Logo a equação fica
v + u,dvdu =2v1+v,

Passo 5

Isolando dv/du obtemos
u,dvdu =2v1+v-v =2v -v(1+v)1+v =v(1-v)1+v
Isto é separável:
1+vv(1-v),dv =duu

Passo 6

Integramos cada lado:
integral1+vv(1-v),dv =integralduu
Fazendo frações parciais em 1+vv(1-v) = 1v + 21-v,
integrall(1v + 21-vr)dv =ln|v| -2ln|1-v| =ln!l|v(1-v)^2r|,
e à direita ln|u| + C. Portanto
ln!l|v(1-v)^2r| =ln|u| + C Longrightarrow v(1-v)^2 =K,u,
onde K=e^C.

Passo 7

Voltando às variáveis originais:
v=zu=y-tfrac12,x+tfrac12,, u=x+tfrac12
Substituindo em v(1-v)^2=K,u e simplificando (dividindo ambos os lados por u), chega-se à forma implícita
y-tfrac12(x+1 - y)^2=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

boxedy-tfrac12(x+1 - y)^2=C,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados