Resolva as equações diferenciais e represente as curvas integrais para pelo menos três valores da constante:
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a família de curvas integrais. O conteúdo aqui é equações separáveis, pois podemos escrever tudo em função de
de um lado e de
do outro.
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando
e separamos variáveis:
Passo 3
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos frações parciais:
Logo
e no lado direito
Passo 4
Juntando, temos
Exponenciando,
onde
K=e^C é a constante de integração (que pode ser positiva ou negativa).
Passo 5
Para escrever
x explicitamente, chame
A=K,e^t . Então
logo
Esse é o solução geral em forma explícita, válida enquanto
1-K^2e^2t>0 .
Passo 6
As curvas integrais no plano
(t,x) vêm da forma implícita
Escolhendo três valores de
K , por exemplo
K=tfrac12 ,
K=1 e
K=2 , obtemos três trajetórias distintas:
Para
K=0 a curva integral é a solução trivial
x(t)=0 .
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
ou explicitamente por
e três curvas integrais correspondem, por exemplo, a
K=tfrac12 ,
K=1 e
K=2 .