Resolva as equações diferenciais e represente as curvas integrais para pelo menos três valores da constante:
b) d xd t-x^3=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dxdt-x^3=x
e pede a família de curvas integrais. O conteúdo aqui é equações separáveis, pois podemos escrever tudo em função de x de um lado e de t do outro.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando dxdt e separamos variáveis:
dxdt=x^3+x Longrightarrow dxx,(x^2+1)=dt

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos frações parciais:
1x(x^2+1) =1x-xx^2+1
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integraldxx(x^2+1) =integrall(1x-xx^2+1r),dx =lnl|xr| -tfrac12lnl(x^2+1r)
e no lado direito
integral dt =t + C

Passo 4

Juntando, temos
lnl|xr| -tfrac12lnl(x^2+1r) =t+C
Exponenciando,
lvert xrvertraizx^2+1 =e^t+C =K,e^t,
onde K=e^C é a constante de integração (que pode ser positiva ou negativa).

Passo 5

Para escrever x explicitamente, chame A=K,e^t. Então
xraizx^2+1=A Longrightarrow x^2=A^2l(x^2+1r) Longrightarrow x^2,(1-A^2)=A^2,
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x^2 =A^21-A^2 =K^2e^2t1-K^2e^2t Longrightarrow x(t) =pmK,e^traiz1-K^2e^2t
Esse é o solução geral em forma explícita, válida enquanto 1-K^2e^2t>0.

Passo 6

As curvas integrais no plano (t,x) vêm da forma implícita
xraizx^2+1=K,e^t
Escolhendo três valores de K, por exemplo K=tfrac12, K=1 e K=2, obtemos três trajetórias distintas:
xraizx^2+1=tfrac12,e^t,
xraizx^2+1=1cdot e^t,
xraizx^2+1=2,e^t
Para K=0 a curva integral é a solução trivial x(t)=0.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
xraizx^2+1=K,e^t,
ou explicitamente por
x(t)=pmK,e^traiz1-K^2e^2t,
e três curvas integrais correspondem, por exemplo, a K=tfrac12, K=1 e K=2.

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