Seja f(x)=sec (x)1+tan (x). Calcule f^prime(pi4).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=dfracsec(x)1+tan(x)
e pede a derivada em x=pi/4. O conteúdo envolve derivada de função trigonométrica e uma simplificação de expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos simplificar f(x) usando identidades trigonométricas:
sec(x)=1/cos(x) e tan(x)=sin(x)/cos(x).
Logo
f(x) =1cos x1+sin xcos x =1cos xcdotcos xcos x+sin x =1sin x+cos x

Passo 3

Agora derivamos
f(x)=l(sin x+cos xr)^-1
Usando a regra da cadeia, se g(x)=sin x+cos x então
f'(x) =-1cdot g(x)^-2cdot g'(x) =-g'(x)l(sin x+cos xr)^2
e como g'(x)=cos x-sin x, temos
f'(x) =-cos x-sin xl(sin x+cos xr)^2

Passo 4

Para x=pi/4 vale sin(pi/4)=cos(pi/4)=tfracraiz22, então
cos x-sin x=0. Logo
f'l(tfracpi4r) =-0l(tfracraiz22+tfracraiz22r)^2 =0

Resposta

0

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