Para quais valores de x as expressões a seguir representam números reais?
raizx-4x+4

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x tais que a expressão
raizx-4x+4
seja um número real. Para isso precisamos usar as condições de existência de uma raiz quadrada: o radicando deve ser maior ou igual a zero e o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Impor que o denominador seja diferente de zero:
x + 4 neq 0
Logo
x neq -4

Passo 3

Resolver a inequação
x-4x+4 >= 0
Os pontos críticos são x=4 (zero do numerador) e x=-4 (zero do denominador). Isso divide a reta em três intervalos:
  1. Para x < -4, escolha x=-5:
    -5-4-5+4 = -9-1 = +9 > 0
    Nesse intervalo o quociente é positivo.
  2. Para -4 < x < 4, escolha x=0:
    0-40+4 = -44 = -1 < 0
    Nesse intervalo o quociente é negativo.
  3. Para x > 4, escolha x=5:
    5-45+4 = 19 > 0
    Nesse intervalo o quociente é positivo.
Além disso, em x=4 o radicando vale zero, então a raiz é raiz0=0, o que é permitido. Em x=-4 o denominador anula o radicando, logo deve ser excluído.

Passo 4

Concluímos que a condição x-4x+4>=0 e xneq-4 é satisfeita para
x < -4 ou x >= 4

Resposta

,(-infty,-4)cup[4,infty)

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