Seja
uma SF complexa. Dessa série, obtenha a IP
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função $ f(x) $ que é uma série de Fourier complexa, expressa como:
O objetivo aqui é encontrar o produto interno (IP) de $ f $ consigo mesma, ou seja, calcular $ \langle f, f \rangle $. Para isso, vamos precisar entender o que é produto interno em funções e como utilizar as propriedades da série de Fourier complexa para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno de duas funções. No contexto de funções complexas, o produto interno de $ f $ e $ g $ é definido por:
Aqui, $ \overline{g(x)} $ representa o conjugado complexo de $ g(x) $. No nosso caso, como queremos $ \langle f, f \rangle $, temos:
Passo 3
Vamos substituir a expressão de $ f(x) $ na fórmula do produto interno:
Aqui, usamos que o conjugado de $ e^{\mathbf{i} \pi m x / L} $ é $ e^{-\mathbf{i} \pi m x / L} $.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar as duas séries:
Trocar a ordem da soma e da integral é válido aqui, assumindo que a série converge adequadamente.
Passo 5
A integral agora está sobre um termo exponencial. Sabemos que:
Isso acontece porque as funções exponenciais são ortogonais no intervalo considerado.
Passo 6
Devido à propriedade de ortogonalidade, apenas os termos onde $ n = m $ contribuem para a soma. Portanto, a expressão simplifica para:
Aqui, $ |c_{n}|^{2} = c_{n} \overline{c_{n}} $ representa o módulo ao quadrado dos coeficientes.
Passo 7
Finalmente, para obter a expressão desejada sem o fator $ 2L $, podemos considerar a normalização dos coeficientes na série de Fourier. Se os coeficientes já estiverem normalizados adequadamente, temos:
Resposta
Portanto, o produto interno $ \langle f, f \rangle $ é dado por: