Resolva as equações diferenciais a seguir, todas da forma de Bernoulli. Inicialmente, identifique os coeficientes p(x), f(x) e o expoente n, e em seguida utilize a substituição adequada para transformar a equação em uma equação linear e determine a solução geral.
y^{\prime}+2 y=x y^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'+2y = x y^{3}.
O que pede: resolver a equação (achar a solução geral) usando que ela é da forma de Bernoulli. Identificar os coeficientes e o expoente:
  • p(x)=2 (coeficiente de y),
  • f(x)=x (função que multiplica y^n),
  • n=3 (expoente de y no termo não linear).

Passo 2

Lembrete didático rápido do método de Bernoulli (sem pular etapas):
A equação de Bernoulli tem a forma
y'+p(x)y=q(x)y^n.
A ideia é fazer a substituição
u = y^{\,1-n},
porque isso transforma a equação não linear em uma linear para u. Aqui n=3, então escolhemos
u = y^{\,1-3} = y^{-2}.
Agora calcule a derivada u' em função de y e y'. Usando derivada de potência:
u' = \frac{d}{dx}\bigl(y^{-2}\bigr) = -2 y^{-3} y'.

Passo 3

Agora vou usar essa relação para reescrever a equação original. Começo dividindo a equação original por y^{3} (isso é válido sempre que y\neq0; veremos a solução y\equiv0 separadamente):
y'y^{-3} + 2 y^{-2} = x.
Observe que y^{-2}=u e que y'y^{-3} = -\dfrac{1}{2}u' (da relação do Passo 2 isolando y'y^{-3}). Substituindo:
-\frac{1}{2}u' + 2u = x.
Multiplicando ambos os lados por -2 para ficar com a forma padrão:
u' - 4u = -2x.
Pronto: virou uma equação linear de primeira ordem para u(x).

Passo 4

Resolver a equação linear
u' - 4u = -2x.
Forma padrão u'+a(x)u=b(x) com a(x)=-4 e b(x)=-2x. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int a(x)\,dx} = e^{\int -4\,dx} = e^{-4x}.
Multiplicando a equação por \mu:
e^{-4x}u' - 4 e^{-4x}u = -2x e^{-4x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(u e^{-4x}\bigr) = -2x e^{-4x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
u e^{-4x} = \int -2x e^{-4x}\,dx + C.
Calcule a integral por partes (ou usando uma fórmula conhecida). Faço por partes: tome A=x e dB=e^{-4x}dx. Então dA=dx e B=-\tfrac{1}{4}e^{-4x}. Assim
\int x e^{-4x}\,dx = -\frac{x}{4}e^{-4x} + \frac{1}{4}\int e^{-4x}\,dx = -\frac{x}{4}e^{-4x} -\frac{1}{16}e^{-4x} + C = -\frac{e^{-4x}(4x+1)}{16} + C.
Multiplicando por -2:
\int -2x e^{-4x}\,dx = \frac{e^{-4x}(4x+1)}{8} + C.
Portanto
u e^{-4x} = \frac{e^{-4x}(4x+1)}{8} + C.
Multiplicando por e^{4x}:
u(x) = \frac{4x+1}{8} + C e^{4x},
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Voltando à substituição u=y^{-2}, obtemos
y^{-2} = \frac{4x+1}{8} + C e^{4x}.
Isolando y:
y(x) = \pm\left(\frac{4x+1}{8} + C e^{4x}\right)^{-1/2}.
Observação importante (didática): a substituição exigiu dividir por y^3, então tratamos separadamente a possibilidade y\equiv0. Substituindo y=0 na equação original, verifica-se que 0'+2\cdot0 = x\cdot0 é verdadeira, logo y\equiv0 também é uma solução (solução singular/particular que a transformação não captura).

Passo 7

Resumo dos pontos práticos para a prova (pequena cola mental):
  • Identificar p(x), q(x), n.
  • Fazer u=y^{1-n} e calcular u'.
  • Substituir e obter uma linear para u.
  • Resolver por fator integrante.
  • Voltar para y; lembrar de checar soluções que foram excluídas pela divisão (aqui y\equiv0).

Resposta

y(x)=0
y(x)=\pm\left(\dfrac{4x+1}{8}+C e^{4x}\right)^{-1/2},\quad C\in\mathbb{R}

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