Resolva as equações diferenciais a seguir, todas da forma de Bernoulli. Inicialmente, identifique os coeficientes
e o expoente
, e em seguida utilize a substituição adequada para transformar a equação em uma equação linear e determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que pede: resolver a equação (achar a solução geral) usando que ela é da forma de Bernoulli. Identificar os coeficientes e o expoente:
-
(coeficiente de ), -
(função que multiplica ), -
(expoente de no termo não linear).
Passo 2
Lembrete didático rápido do método de Bernoulli (sem pular etapas):
A equação de Bernoulli tem a forma
A equação de Bernoulli tem a forma
A ideia é fazer a substituição
porque isso transforma a equação não linear em uma linear para
. Aqui
, então escolhemos
Agora calcule a derivada
em função de
e
. Usando derivada de potência:
Passo 3
Agora vou usar essa relação para reescrever a equação original. Começo dividindo a equação original por
(isso é válido sempre que
; veremos a solução
separadamente):
Observe que
e que
(da relação do Passo 2 isolando
). Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
para ficar com a forma padrão:
Pronto: virou uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Resolver a equação linear
Forma padrão
com
e
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em
:
Calcule a integral por partes (ou usando uma fórmula conhecida). Faço por partes: tome
e
. Então
e
. Assim
Multiplicando por
:
Portanto
Multiplicando por
:
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Voltando à substituição
, obtemos
Isolando
:
Observação importante (didática): a substituição exigiu dividir por
, então tratamos separadamente a possibilidade
. Substituindo
na equação original, verifica-se que
é verdadeira, logo
também é uma solução (solução singular/particular que a transformação não captura).
Passo 7
Resumo dos pontos práticos para a prova (pequena cola mental):
- Identificar
. - Fazer
e calcular . - Substituir e obter uma linear para
. - Resolver por fator integrante.
- Voltar para
; lembrar de checar soluções que foram excluídas pela divisão (aqui ).