Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
y^prime prime-x y^prime-y=0 e y(0)=1 e y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - x,y' - y = 0
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0, usando uma série de potência centrada em x0=0. Assim, supomos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
e vamos obter uma relação de recorrência para os coeficientes an, aplicando depois as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as derivadas em série:
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2

Passo 3

Substituindo em y'' - x,y' - y=0 obtemos
sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 - xsumn=1^inftyn,anx^n-1 - sumn=0^inftyanx^n =0
Renumerando o primeiro somatório com m=n-2 e o segundo com m=n, todos em x^m, dá
summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2,x^m - summ=0^inftym,am,x^m - summ=0^inftyamx^m =0
Como a soma deve ser zero para todo x, cada coeficiente de x^m se anula:
(m+2)(m+1)am+2-l(m+1r)am=0 Longrightarrow am+2=amm+2, m>=0

Passo 4

Das condições iniciais temos
y(0)=a0=1, y'(0)=a1=0
Usando a recorrência:
a2=a02=12, a3=a13=0, a4=a24=18, a5=0,;dots
Observamos que a2k+1=0 e
a2k =a2k-22k =a0(2k)(2k-2)cdots2 =12^kk!

Passo 5

Assim a solução em série fica
y(x) =sumk=0^inftya2k,x^2k =sumk=0^infty12^kk!,x^2k =sumk=0^infty(x^2/2)^kk!,
e reconhecemos a expansão de exp(x^2/2). Portanto
y(x)=e^x^2/2

Resposta

y(x)=e^x^2/2

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