Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
e
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
, usando uma série de potência centrada em
. Assim, supomos
e vamos obter uma relação de recorrência para os coeficientes
, aplicando depois as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as derivadas em série:
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Renumerando o primeiro somatório com
e o segundo com
, todos em
, dá
Como a soma deve ser zero para todo
, cada coeficiente de
se anula:
Passo 4
Das condições iniciais temos
Usando a recorrência:
Observamos que
e
Passo 5
Assim a solução em série fica
e reconhecemos a expansão de
. Portanto