Dada a SF de meio período
t(pi-t)=8pi sumn=1^infty sen((2 n-1) t)(2 n-1)^3, 0 <= t <= pi
utilize a identidade de Parseval (IP)
1L integral-L^L|f(x)|^2 d x=a0^22+sumn=1^infty(an^2+bn^2)
  • que é válida para f: R R 2 L-periódica, com f,|f| e|f|^2 integráveis - para deduzir o valor da série
sumn=1^infty 1(2 n-1)^6
Em seguida, obtenha o valor de
sumn=1^infty 1n^6
decompondo-a em duas séries, onde uma delas é a série supracitada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função por série de Fourier de meio período:
t(pi - t) = 8pi sumn=1^infty sin((2n-1) t)(2n-1)^3, 0 <= t <= pi
E a gente vai usar a Identidade de Parseval, que relaciona a integral do quadrado da função com a soma dos quadrados dos coeficientes da série de Fourier. Nosso objetivo é descobrir o valor da série
sumn=1^infty 1(2n-1)^6
E depois, usar isso para achar o valor de
sumn=1^infty 1n^6
Então, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Fourier e a Identidade de Parseval para seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Identidade de Parseval para uma função f(x) que é 2L-periódica e satisfaz as condições de integrabilidade. A identidade é:
1L integral-L^L |f(x)|^2 dx = a0^22 + sumn=1^infty (an^2 + bn^2)
No nosso caso, a função está definida de 0 a pi, então vamos adaptar L = pi. Além disso, nossa série de Fourier só tem termos de seno, ou seja, an = 0 para todos os n. Assim, a identidade simplifica para:
1pi integral0^pi |f(t)|^2 dt = sumn=1^infty bn^2
Nosso objetivo é encontrar sumn=1^infty 1(2n-1)^6, então vamos aplicar essa identidade à nossa função.

Passo 3

Vamos calcular a integral do quadrado da função f(t) = t(pi - t). Ou seja:
integral0^pi [t(pi - t)]^2 dt
Primeiro, vamos expandir o quadrado:
[t(pi - t)]^2 = t^2 (pi - t)^2 = t^2 (pi^2 - 2pi t + t^2)
Agora, distribuindo:
t^2 (pi^2 - 2pi t + t^2) = pi^2 t^2 - 2pi t^3 + t^4
Então, a integral fica:
integral0^pi (pi^2 t^2 - 2pi t^3 + t^4) dt = pi^2 integral0^pi t^2 dt - 2pi integral0^pi t^3 dt + integral0^pi t^4 dt
Calculando cada parte:
  • integral0^pi t^2 dt = pi^33
  • integral0^pi t^3 dt = pi^44
  • integral0^pi t^4 dt = pi^55
Substituindo:
pi^2 cdot pi^33 - 2pi cdot pi^44 + pi^55 = pi^53 - pi^52 + pi^55
Para somar, vamos colocar tudo sobre 30:
10pi^530 - 15pi^530 + 6pi^530 = (10 - 15 + 6)pi^530 = pi^530

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Identidade de Parseval que adaptamos:
1pi integral0^pi |f(t)|^2 dt = sumn=1^infty bn^2
Substituindo o valor da integral que encontramos:
1pi cdot pi^530 = sumn=1^infty bn^2 implies pi^430 = sumn=1^infty bn^2

Passo 5

Vamos agora identificar os coeficientes bn da nossa série de Fourier. A série original é:
t(pi - t) = 8pi sumn=1^infty sin((2n -1) t)(2n-1)^3
Comparando com a forma geral da série de Fourier de senos:
f(t) = sumn=1^infty bn sin(npi tL)
No nosso caso, L = pi, então bn corresponde aos coeficientes da série. Observamos que apenas os termos ímpares aparecem na série, ou seja, n = 2k -1. Então, temos:
b2k-1 = 8pi cdot 1(2k-1)^3
E para os pares, b2k = 0.

Passo 6

Vamos substituir os valores de bn na soma da Identidade de Parseval:
sumn=1^infty bn^2 = sumk=1^infty (8pi cdot 1(2k-1)^3)^2 = sumk=1^infty 64pi^2 cdot 1(2k-1)^6
Sabemos que essa soma é igual a pi^430, então:
64pi^2 sumk=1^infty 1(2k-1)^6 = pi^430
Para encontrar a série que queremos, isolamos:
sumk=1^infty 1(2k-1)^6 = pi^430 cdot pi^264 = pi^61920

Passo 7

Agora, queremos encontrar o valor de:
sumn=1^infty 1n^6
Vamos decompor essa soma em termos pares e ímpares:
sumn=1^infty 1n^6 = sumk=1^infty 1(2k-1)^6 + sumk=1^infty 1(2k)^6
Já sabemos o valor da primeira série, que é pi^61920. Vamos calcular a segunda série:
sumk=1^infty 1(2k)^6 = 164 sumk=1^infty 1k^6 = 164 S
Onde S = sumn=1^infty 1n^6.

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
S = pi^61920 + 164 S
Vamos resolver para S:
S - 164 S = pi^61920 implies 6364 S = pi^61920 implies S = pi^61920 cdot 6463 = pi^61890

Resposta

Portanto, o valor da série sumn=1^infty 1n^6 é
sumn=1^infty 1n^6 = pi^6945

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