Dada a SF de meio período
utilize a identidade de Parseval (IP)
- que é válida para
-periódica, com
integráveis - para deduzir o valor da série
Em seguida, obtenha o valor de
decompondo-a em duas séries, onde uma delas é a série supracitada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função por série de Fourier de meio período:
E a gente vai usar a Identidade de Parseval, que relaciona a integral do quadrado da função com a soma dos quadrados dos coeficientes da série de Fourier. Nosso objetivo é descobrir o valor da série
E depois, usar isso para achar o valor de
Então, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Fourier e a Identidade de Parseval para seguir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Identidade de Parseval para uma função
que é
-periódica e satisfaz as condições de integrabilidade. A identidade é:
No nosso caso, a função está definida de
a
, então vamos adaptar
. Além disso, nossa série de Fourier só tem termos de seno, ou seja,
para todos os
. Assim, a identidade simplifica para:
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos aplicar essa identidade à nossa função.
Passo 3
Vamos calcular a integral do quadrado da função
. Ou seja:
Primeiro, vamos expandir o quadrado:
Agora, distribuindo:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Substituindo:
Para somar, vamos colocar tudo sobre 30:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Identidade de Parseval que adaptamos:
Substituindo o valor da integral que encontramos:
Passo 5
Vamos agora identificar os coeficientes
da nossa série de Fourier. A série original é:
Comparando com a forma geral da série de Fourier de senos:
No nosso caso,
, então
corresponde aos coeficientes da série. Observamos que apenas os termos ímpares aparecem na série, ou seja,
. Então, temos:
E para os pares,
.
Passo 6
Vamos substituir os valores de
na soma da Identidade de Parseval:
Sabemos que essa soma é igual a
, então:
Para encontrar a série que queremos, isolamos:
Passo 7
Agora, queremos encontrar o valor de:
Vamos decompor essa soma em termos pares e ímpares:
Já sabemos o valor da primeira série, que é
. Vamos calcular a segunda série:
Onde
.
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Vamos resolver para
:
Resposta
Portanto, o valor da série
é