Resolva as equações diferenciais a seguir.
y^prime prime+6 y^prime+9 y=(x+1) e^-3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
A equação é
y'' + 6y' + 9y = (x+1)e^-3x
O conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter a solução geral (soma da homogênea e de uma particular).

Passo 2

Começamos pela solução homogênea. A equação característica é
r^2 + 6r + 9 = 0 ,Rightarrow, (r+3)^2 = 0,
com raiz dupla r = -3. Assim
yh(x) = C1e^-3x + C2 x e^-3x

Passo 3

Para a parte particular, como o lado direito é (x+1)e^-3x e e^-3x corresponde a uma raiz dupla, multiplicamos a forma polinomial de grau 1 por x^2. Logo fazemos o ansatz
yp(x) = x^2(Ax + B)e^-3x = P(x)e^-3x,
com P(x)=Ax^3+Bx^2.

Passo 4

Substituindo yp = P e^-3x no LHS, nota-se que ele se reduz a
y'' + 6y' + 9y = P''(x)e^-3x
Para coincidir com o RHS (x+1)e^-3x, precisamos de
P''(x) = x + 1
Integrando duas vezes (e lembrando que em P(x)=Ax^3+Bx^2 não há termos lineares ou constantes extra), obtemos
P'(x) = x^22 + x,
por outro lado
P'(x) = 3Ax^2 + 2Bx
Comparando coeficientes, vem
3A = tfrac12 e 2B = 1, ou seja A=tfrac16 e B=tfrac12.

Passo 5

Logo a solução particular é
yp(x) = l(tfracx^36 + tfracx^22r)e^-3x
Assim a solução geral fica
y(x) = yh(x) + yp(x) = l(C1 + C2 xr)e^-3x + l(tfracx^36 + tfracx^22r)e^-3x

Resposta

y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x3}{6}\bigr)e{-3x}

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