Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
A equação é
A equação é
O conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter a solução geral (soma da homogênea e de uma particular).
Passo 2
Começamos pela solução homogênea. A equação característica é
com raiz dupla
. Assim
Passo 3
Para a parte particular, como o lado direito é
e
corresponde a uma raiz dupla, multiplicamos a forma polinomial de grau 1 por
. Logo fazemos o ansatz
com
.
Passo 4
Substituindo
no LHS, nota-se que ele se reduz a
Para coincidir com o RHS
, precisamos de
Integrando duas vezes (e lembrando que em
não há termos lineares ou constantes extra), obtemos
por outro lado
Comparando coeficientes, vem
e
, ou seja
e
.
Passo 5
Logo a solução particular é
Assim a solução geral fica
Resposta
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x3}{6}\bigr)e{-3x}