Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável que o exercício pediu. A gente tem duas funções, $ h $ e $ y $, relacionadas por essa equação. Nosso objetivo é encontrar a expressão de $ y $ em função de $ h $ ou vice-versa. Para isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para separar as variáveis $ h $ e $ y $. A equação dada é:
Vamos isolar $ dh $ e $ dy $ em lados opostos:
Agora, vamos dividir ambos os lados por $ 8 \cos^{2} y \csc^{2} h $ para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Lembre-se que $ \csc^{2} h = \frac{1}{\sin^{2} h} $ e $ \frac{1}{\cos^{2} y} = \sec^{2} y $.
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:
Vamos resolver cada uma:
Para o lado esquerdo, usamos a identidade trigonométrica $ \sin^{2} h = \frac{1 - \cos(2h)}{2} $:
Para o lado direito, sabemos que a integral de $ \sec^{2} y $ é $ \tan y $:
Passo 4
Agora, juntamos as integrais e as constantes de integração:
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
Passo 5
Vamos isolar $ \tan y $ para expressar $ y $ em função de $ h $:
Multiplicando ambos os lados por $ -8 $:
Podemos simplificar a constante $ 8C $ para apenas $ C’ $:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante $ C’ $. A condição dada é $ y\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{4} $.
Substituindo $ h = \frac{\pi}{12} $ e $ y = \frac{\pi}{4} $:
Sabemos que $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $, então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Portanto:
Resposta
A solução da equação diferencial é: