Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo.
l 8 cos ^2 y d h+cossec^2 h d y=0 y(pi12)=pi4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável que o exercício pediu. A gente tem duas funções, $ h $ e $ y $, relacionadas por essa equação. Nosso objetivo é encontrar a expressão de $ y $ em função de $ h $ ou vice-versa. Para isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para separar as variáveis $ h $ e $ y $. A equação dada é:
h
Vamos isolar $ dh $ e $ dy $ em lados opostos:
y
Agora, vamos dividir ambos os lados por $ 8 \cos^{2} y \csc^{2} h $ para separar as variáveis:
8 cos^2 y , dh + csc^2 h , dy = 0

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Lembre-se que $ \csc^{2} h = \frac{1}{\sin^{2} h} $ e $ \frac{1}{\cos^{2} y} = \sec^{2} y $.
Integral do lado esquerdo:
csc^2 h = 1sin^2 h
Integral do lado direito:
1cos^2 y = sec^2 y
Vamos resolver cada uma:
Para o lado esquerdo, usamos a identidade trigonométrica $ \sin^{2} h = \frac{1 - \cos(2h)}{2} $:
integral sin^2 h , dh
Para o lado direito, sabemos que a integral de $ \sec^{2} y $ é $ \tan y $:
- 18 integral sec^2 y , dy

Passo 4

Agora, juntamos as integrais e as constantes de integração:
h2 - sin(2h)4 + C1 = -18 tan y + C2
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
C1

Passo 5

Vamos isolar $ \tan y $ para expressar $ y $ em função de $ h $:
tan y
Multiplicando ambos os lados por $ -8 $:
y
Podemos simplificar a constante $ 8C $ para apenas $ C’ $:
h

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante $ C’ $. A condição dada é $ y\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{4} $.
Substituindo $ h = \frac{\pi}{12} $ e $ y = \frac{\pi}{4} $:
C'
Sabemos que $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $, então:
y(pi12) = pi4
h = pi12
Subtraindo 1 de ambos os lados:
y = pi4
Portanto:
tan(pi4) = -4(pi12) + 2sin(2 cdot pi12) + C'

Resposta

A solução da equação diferencial é:
tan y = -4h + 2sin(2h) + pi3

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