Resolva as seguintes equações diferenciais por algum método estudado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que nos foi dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método de equações exatas, que é uma técnica para encontrar soluções quando a equação satisfaz certas condições de “exatidão”.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as funções que multiplicam
e
na equação, que chamamos de
e
:
Para uma equação ser exata, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos verificar isso.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, nossa equação é exata! Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar essa função
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função qualquer de
. Vamos fazer a integração:
Calculando as integrais:
Fazendo uma substituição
, então
:
Então, temos:
Passo 5
Para encontrar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Onde
é uma constante de integração. Incorporamos isso na função
:
Passo 6
Como a equação é exata, sabemos que
, onde
é uma constante. Assim:
Vamos simplificar:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Podemos também escrever isolando
: