Resolva as seguintes equações diferenciais por algum método estudado.
l e^x[y-3(e^x+1)^2] d x+(e^x+1) d y=0 y(0)=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que nos foi dada:
e^x[y - 3(e^x + 1)^2] dx + (e^x + 1) dy = 0 y(0) = 4
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método de equações exatas, que é uma técnica para encontrar soluções quando a equação satisfaz certas condições de “exatidão”.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as funções que multiplicam dx e dy na equação, que chamamos de M(x, y) e N(x, y):
M(x, y) = e^x[y - 3(e^x + 1)^2] N(x, y) = e^x + 1
Para uma equação ser exata, a derivada parcial de M em relação a y deve ser igual à derivada parcial de N em relação a x. Vamos verificar isso.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = e^x partial Npartial x = e^x
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, nossa equação é exata! Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M partial Fpartial y = N

Passo 4

Agora, vamos encontrar essa função F(x, y) integrando M em relação a x:
F(x, y) = integral M , dx + g(y)
Onde g(y) é uma função qualquer de y. Vamos fazer a integração:
integral e^x[y - 3(e^x + 1)^2] dx = y integral e^x dx - 3 integral e^x(e^x + 1)^2 dx
Calculando as integrais:
y integral e^x dx = y e^x -3 integral e^x(e^x + 1)^2 dx
Fazendo uma substituição u = e^x + 1, então du = e^x dx:
-3 integral u^2 du = -3 cdot u^33 = -u^3 = -(e^x + 1)^3
Então, temos:
F(x, y) = y e^x - (e^x + 1)^3 + g(y)

Passo 5

Para encontrar g(y), diferenciamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N:
partial Fpartial y = e^x + g'(y) = N = e^x + 1
Então:
e^x + g'(y) = e^x + 1 g'(y) = 1 g(y) = y + C
Onde C é uma constante de integração. Incorporamos isso na função F(x, y):
F(x, y) = y e^x - (e^x + 1)^3 + y + C

Passo 6

Como a equação é exata, sabemos que F(x, y) = C, onde C é uma constante. Assim:
y e^x - (e^x + 1)^3 + y = C
Vamos simplificar:
y (e^x + 1) - (e^x + 1)^3 = C

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 4 para encontrar a constante C. Substituindo x = 0 e y = 4:
4 (e^0 + 1) - (e^0 + 1)^3 = C 4 (1 + 1) - (1 + 1)^3 = C 4 cdot 2 - 2^3 = C 8 - 8 = C C = 0

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y (e^x + 1) - (e^x + 1)^3 = 0
Podemos também escrever isolando y:
y = (e^x + 1)^2

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