Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
y \ln x \frac{d y}{d x}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial dada, ou seja, encontrar todas as funções y(x) que satisfazem
y\ln x\;\frac{dy}{dx}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^{2}.
Informações fornecidas pelo enunciado:
y\ln x\;\frac{dy}{dx}=\frac{(y+1)^{2}}{x^{2}}.
Pontos importantes a observar (dados do enunciado que afetam a resolução):
  • A equação envolve \ln x, logo só faz sentido em pontos com x>0.
  • Se em algum passo dividirmos por y+1 ou por \ln x, devemos lembrar que essas quantities podem ser zero e produzir soluções singulares que precisam ser tratadas separadamente.
  • O objetivo é determinar a família de soluções (solução geral) e também identificar eventuais soluções singulares.

Passo 2

Transformando a equação para separá‑la (passo chave: colocar todos os termos em y multiplicando dy de um lado e os termos em x multiplicando dx do outro).
Partimos de
y\ln x\;\frac{dy}{dx}=\frac{(y+1)^{2}}{x^{2}}.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{(y+1)^{2}}{x^{2}\,y\ln x}.
Agora rearranjamos para obter uma forma separável (colocar todas as partes em y junto de dy e todas as partes em x junto de dx):
\frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy=\frac{1}{x^{2}\ln x}\,dx.
Explicação do passo: dividimos ambos os lados por (y+1)^{2} e por \ln x, e multiplicamos por dx. Essa manipulação é válida desde que não estejamos em pontos onde dividimos por zero; trataremos esses casos especiais depois.

Passo 3

Integramos os dois lados: precisamos calcular
\int \frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy \quad\text{e}\quad \int \frac{1}{x^{2}\ln x}\,dx.
Começo pela integral em y.
Para a integral em y fazemos a substituição simples \,u=y+1. Então du=dy e y=u-1. Substituindo:
\int \frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy=\int \frac{u-1}{u^{2}}\,du.
Agora escrevemos o integrando em termos de potências:
\frac{u-1}{u^{2}}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}}.
Integramos termo a termo:
\int\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}}\right)du=\ln|u|+\frac{1}{u}+C_{1}.
Voltando à variável y (pois u=y+1):
\int \frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy=\ln|y+1|+\frac{1}{y+1}+C_{1}.
Aqui expliquei cada passo: substituição para simplificar a fração, decomposição em frações mais simples e integração direta.

Passo 4

Agora a integral em x:
\int \frac{1}{x^{2}\ln x}\,dx.
Fazemos a substituição t=\ln x. Então dt=\dfrac{1}{x}\,dx, o que implica dx=e^{t}dt e x=e^{t}. Substituindo na integral:
\frac{1}{x^{2}\ln x}\,dx=\frac{1}{e^{2t}\,t}\cdot e^{t}dt=\frac{e^{-t}}{t}\,dt.
Portanto precisamos calcular
\int \frac{e^{-t}}{t}\,dt.
Observação sobre essa integral: \displaystyle\int \frac{e^{-t}}{t}\,dt não tem primitiva elementar expressável com polinômios, exponenciais e logaritmos simples. Ela é expressa por uma função especial conhecida como função integral exponencial. Uma forma conveniente é usar a função \operatorname{Ei} (função exponencial integral), lembrando da identidade útil
\frac{d}{dt}\left(\operatorname{Ei}(-t)\right)=\frac{e^{-t}}{t}.
Logo uma primitiva é \operatorname{Ei}(-t). Substituindo t=\ln x de volta:
\int \frac{1}{x^{2}\ln x}\,dx=\operatorname{Ei}(-\ln x)+C_{2}.
Comentário didático curto sobre \operatorname{Ei}: a função \operatorname{Ei}(z) é definida (por integral imprópria) e aparece frequentemente quando integrais do tipo \int e^{az}/z aparecem. Não é necessário saber sua definição completa para aplicar aqui; basta reconhecer que a primitiva é \operatorname{Ei}(-\ln x).

Passo 5

Igualando as duas primitivas obtidas (lado em y e lado em x) e combinando constantes de integração:
\ln|y+1|+\frac{1}{y+1}=\operatorname{Ei}(-\ln x)+C,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração geral (combinação de C_{1} e C_{2}).
Essa é a solução implícita da equação diferencial, que relaciona y e x. Em muitos problemas de prova aceitar uma solução implícita é suficiente; isolar explicitamente y aqui exigiria inverter uma função que envolve \ln e 1/(y+1), o que não resulta em forma elementar simples.

Passo 6

Tratamento das soluções singulares e domínio:
  1. Domínio dos x: como aparece \ln x no enunciado, assumimos x>0. Além disso, na separação dividimos por \ln x, então para aplicar a integração direta evitamos x=1 (porque \ln 1=0). Entretanto a expressão final \operatorname{Ei}(-\ln x) também exige x>0. Se quiser uma solução que passe por x=1, deve-se tratar com cuidado: no ponto x=1 a equação original vira 0=\dfrac{(y+1)^{2}}{1}, logo exige y=-1. Assim y\equiv -1 é uma solução válida definida para todo x>0, inclusive em x=1.
  2. Solução singular y\equiv -1: verificamos diretamente na equação original: se y(x)=-1 então \dfrac{dy}{dx}=0 e o lado direito \left(\dfrac{y+1}{x}\right)^{2}=0. Assim 0=0 e y\equiv -1 é solução válida. Essa solução foi perdida na separação quando dividimos por (y+1)^{2}, portanto deve ser adicionada.
  3. Valores proibidos de y: na dedução separável dividimos por y também (na forma \dfrac{y}{(y+1)^2}dy); se y=0 a equação original exige 0=\dfrac{(0+1)^{2}}{x^{2}}, isto é 0=\dfrac{1}{x^{2}}, impossível. Logo y\equiv 0 não é solução; valores y=0 em pontos isolados não satisfazem a equação, então a solução contínua não atinge y=0.
Resumo do domínio: soluções não-constantes são definidas em intervalos onde x>0 e x\neq 1 (ou são entendidas por continuidade estendendo-se aos extremos, lembrando da solução constante y=-1 em x=1).

Passo 7

Verificação rápida da forma da solução (consistência): diferenciando implicitamente a expressão obtida dá-se, com contas formais, a equação original — a presença de \operatorname{Ei}(-\ln x) reflete a integral no lado direito. Portanto a solução implícita é consistente.

Resposta

\displaystyle \ln|y+1|+\frac{1}{y+1}=\operatorname{Ei}(-\ln x)+C,\quad C\in\mathbb{R}.\n
\displaystyle y\equiv -1

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