Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial dada, ou seja, encontrar todas as funções
que satisfazem
Informações fornecidas pelo enunciado:
Pontos importantes a observar (dados do enunciado que afetam a resolução):
- A equação envolve
, logo só faz sentido em pontos com . - Se em algum passo dividirmos por
ou por , devemos lembrar que essas quantities podem ser zero e produzir soluções singulares que precisam ser tratadas separadamente. - O objetivo é determinar a família de soluções (solução geral) e também identificar eventuais soluções singulares.
Passo 2
Transformando a equação para separá‑la (passo chave: colocar todos os termos em
multiplicando
de um lado e os termos em
multiplicando
do outro).
Partimos de
Isolando
:
Agora rearranjamos para obter uma forma separável (colocar todas as partes em
junto de
e todas as partes em
junto de
):
Explicação do passo: dividimos ambos os lados por
e por
, e multiplicamos por
. Essa manipulação é válida desde que não estejamos em pontos onde dividimos por zero; trataremos esses casos especiais depois.
Passo 3
Integramos os dois lados: precisamos calcular
Começo pela integral em
.
Para a integral em
fazemos a substituição simples
. Então
e
. Substituindo:
Agora escrevemos o integrando em termos de potências:
Integramos termo a termo:
Voltando à variável
(pois
):
Aqui expliquei cada passo: substituição para simplificar a fração, decomposição em frações mais simples e integração direta.
Passo 4
Agora a integral em
:
Fazemos a substituição
. Então
, o que implica
e
. Substituindo na integral:
Portanto precisamos calcular
Observação sobre essa integral:
não tem primitiva elementar expressável com polinômios, exponenciais e logaritmos simples. Ela é expressa por uma função especial conhecida como função integral exponencial. Uma forma conveniente é usar a função
(função exponencial integral), lembrando da identidade útil
Logo uma primitiva é
. Substituindo
de volta:
Comentário didático curto sobre
: a função
é definida (por integral imprópria) e aparece frequentemente quando integrais do tipo
aparecem. Não é necessário saber sua definição completa para aplicar aqui; basta reconhecer que a primitiva é
.
Passo 5
Igualando as duas primitivas obtidas (lado em
e lado em
) e combinando constantes de integração:
onde
é a constante de integração geral (combinação de
e
).
Essa é a solução implícita da equação diferencial, que relaciona
e
. Em muitos problemas de prova aceitar uma solução implícita é suficiente; isolar explicitamente
aqui exigiria inverter uma função que envolve
e
, o que não resulta em forma elementar simples.
Passo 6
Tratamento das soluções singulares e domínio:
-
Domínio dos
: como aparece no enunciado, assumimos . Além disso, na separação dividimos por , então para aplicar a integração direta evitamos (porque ). Entretanto a expressão final também exige . Se quiser uma solução que passe por , deve-se tratar com cuidado: no ponto a equação original vira , logo exige . Assim é uma solução válida definida para todo , inclusive em . -
Solução singular
: verificamos diretamente na equação original: se então e o lado direito . Assim e é solução válida. Essa solução foi perdida na separação quando dividimos por , portanto deve ser adicionada. -
Valores proibidos de
: na dedução separável dividimos por também (na forma ); se a equação original exige , isto é , impossível. Logo não é solução; valores em pontos isolados não satisfazem a equação, então a solução contínua não atinge .
Resumo do domínio: soluções não-constantes são definidas em intervalos onde
e
(ou são entendidas por continuidade estendendo-se aos extremos, lembrando da solução constante
em
).
Passo 7
Verificação rápida da forma da solução (consistência): diferenciando implicitamente a expressão obtida dá-se, com contas formais, a equação original — a presença de
reflete a integral no lado direito. Portanto a solução implícita é consistente.