Se y1 é solução de
d yd x+P(x) y=Q1(x)
e y2 é solução de
d yd x+P(x) y=Q2(x)
mostre que y1+y2 é solução de
d yd x+P(x) y=Q1(x)+Q2(x)

Passo 1

Vamos lá! A questão trata de Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. O enunciado nos dá duas soluções, $ y_1 $ e $ y_2 $, de duas equações diferenciais que diferem apenas no termo $ Q(x) $. Nosso objetivo é mostrar que a soma dessas duas soluções, $ y_1 + y_2 $, é solução de uma nova equação diferencial onde os termos $ Q(x) $ também foram somados, ou seja, $ Q_1(x) + Q_2(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações diferenciais que têm $ y_1 $ e $ y_2 $ como soluções:
y1
y2
Aqui, $ P(x) $ é uma função que multiplica $ y $, e $ Q_1(x) $ e $ Q_2(x) $ são funções não homogêneas das respectivas equações.

Passo 3

Agora, vamos somar as duas equações lado a lado. Para isso, somamos os lados esquerdos e os direitos separadamente:
( d y1d x + P(x) y1 ) + ( d y2d x + P(x) y2 ) = Q1(x) + Q2(x)
Simplificando isso, temos:
d y1d x + d y2d x + P(x) y1 + P(x) y2 = Q1(x) + Q2(x)

Passo 4

Observamos que $ \frac{d y_1}{d x} + \frac{d y_2}{d x} $ é a derivada da soma $ \frac{d}{d x} (y_1 + y_2) $, e $ P(x) y_1 + P(x) y_2 = P(x)(y_1 + y_2) $. Portanto, podemos reescrever a equação acima como:
d y1d x + d y2d x

Passo 5

Percebemos que a expressão $ \frac{d}{d x} (y_1 + y_2) + P(x)(y_1 + y_2) $ tem a mesma forma da equação diferencial dada, mas agora com o lado direito sendo $ Q_1(x) + Q_2(x) $. Isso mostra que $ y_1 + y_2 $ satisfaz a seguinte equação diferencial:
dd x (y1 + y2) + P(x)(y1 + y2)

Resposta

Portanto, $ y_1 + y_2 $ é uma solução da equação diferencial $ \frac{d y}{d x} + P(x) y = Q_1(x) + Q_2(x) $.

Exercícios relacionados