Se
é solução de
e
é solução de
mostre que
é solução de
Passo 1
Vamos lá! A questão trata de Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. O enunciado nos dá duas soluções, $ y_1 $ e $ y_2 $, de duas equações diferenciais que diferem apenas no termo $ Q(x) $. Nosso objetivo é mostrar que a soma dessas duas soluções, $ y_1 + y_2 $, é solução de uma nova equação diferencial onde os termos $ Q(x) $ também foram somados, ou seja, $ Q_1(x) + Q_2(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas equações diferenciais que têm $ y_1 $ e $ y_2 $ como soluções:
Aqui, $ P(x) $ é uma função que multiplica $ y $, e $ Q_1(x) $ e $ Q_2(x) $ são funções não homogêneas das respectivas equações.
Passo 3
Agora, vamos somar as duas equações lado a lado. Para isso, somamos os lados esquerdos e os direitos separadamente:
Simplificando isso, temos:
Passo 4
Observamos que $ \frac{d y_1}{d x} + \frac{d y_2}{d x} $ é a derivada da soma $ \frac{d}{d x} (y_1 + y_2) $, e $ P(x) y_1 + P(x) y_2 = P(x)(y_1 + y_2) $. Portanto, podemos reescrever a equação acima como:
Passo 5
Percebemos que a expressão $ \frac{d}{d x} (y_1 + y_2) + P(x)(y_1 + y_2) $ tem a mesma forma da equação diferencial dada, mas agora com o lado direito sendo $ Q_1(x) + Q_2(x) $. Isso mostra que $ y_1 + y_2 $ satisfaz a seguinte equação diferencial:
Resposta
Portanto, $ y_1 + y_2 $ é uma solução da equação diferencial $ \frac{d y}{d x} + P(x) y = Q_1(x) + Q_2(x) $.