Determine a solução das equações diferenciais dadas as condições iniciais:
(c) y^{\prime}=x-y, \operatorname{com} y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a solução particular (a função y(x) que satisfaz a equação e a condição):
y' = x - y,
com condição inicial
y(0)=2.
As informações relevantes são: a equação diferencial, que relaciona y' (a derivada de y) com x e y, e a condição inicial que fixa o valor de y em x=0.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções de x. No nosso caso, ao passar o termo -y para o lado esquerdo, obtemos
y' + y = x.
Aqui p(x)=1 e q(x)=x.
Explicando o método que vamos usar (integrating factor / fator integrante): se multiplicarmos ambos os lados por uma função \mu(x) escolhida adequadamente, o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto \mu(x)y. Essa \mu(x) é dada por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
A razão é que
(\mu y)' = \mu y' + \mu' y,
e se \mu' = \mu p(x) então (\mu y)' = \mu(y' + p(x)y). Por isso escolhemos \mu como acima.

Passo 3

Calcular o fator integrante para p(x)=1:
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicamos a equação y' + y = x por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}y' + e^{x}y = x e^{x}.
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada do produto:
(e^{x}y)' = x e^{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int (e^{x}y)'\,dx = \int x e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{x}y. Logo
e^{x}y = \int x e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Calculamos a integral \int x e^{x}\,dx por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C_1.
Podemos escrever isso como
\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1) + C_1.
Substituindo na expressão de e^{x}y (absorvendo C_1 na constante geral C):
e^{x}y = e^{x}(x-1) + C.

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^{x}:
y = x - 1 + C e^{-x}.
Agora usamos a condição inicial y(0)=2 para determinar C. Substituindo x=0:
2 = 0 - 1 + C e^{0} = -1 + C.
Logo
C = 3.

Passo 7

Substituindo C=3 na expressão geral obtemos a solução particular:
y(x) = x - 1 + 3 e^{-x}.

Passo 8

Verificação rápida (boa prática): calcule y' e verifique a equação e a condição inicial.
Derivando,
y' = 1 - 3 e^{-x}.
Calcule x - y:
x - y = x - (x - 1 + 3 e^{-x}) = 1 - 3 e^{-x},
que é igual a y'. E y(0)=0-1+3=2. Tudo confere.

Resposta

y(x)=x-1+3e^{-x}

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