Determine a solução das equações diferenciais dadas as condições iniciais:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a solução particular (a função
que satisfaz a equação e a condição):
com condição inicial
As informações relevantes são: a equação diferencial, que relaciona
(a derivada de
) com
e
, e a condição inicial que fixa o valor de
em
.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
onde
e
são funções de
. No nosso caso, ao passar o termo
para o lado esquerdo, obtemos
Aqui
e
.
Explicando o método que vamos usar (integrating factor / fator integrante): se multiplicarmos ambos os lados por uma função
escolhida adequadamente, o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto
. Essa
é dada por
A razão é que
e se
então
. Por isso escolhemos
como acima.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
:
Multiplicamos a equação
por
:
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Calculamos a integral
por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Podemos escrever isso como
Substituindo na expressão de
(absorvendo
na constante geral
):
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Logo
Passo 7
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular:
Passo 8
Verificação rápida (boa prática): calcule
e verifique a equação e a condição inicial.
Derivando,
Derivando,
Calcule
:
que é igual a
. E
. Tudo confere.