Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
y^{\prime}=\frac{x e^{x}}{2 y}

Passo 1

O enunciado dá a derivada de y em função de x:
y^{\prime}=\frac{x e^{x}}{2 y}.
O que se pede:
  • Encontrar a solução geral da equação diferencial.
  • Tratar o PVI (problema de valor inicial) — isto exige um valor inicial do tipo y(x_0)=y_0. Observação: o enunciado não fornece nenhum x_0 nem y_0; portanto, na ausência desse dado só podemos dar a solução geral e a fórmula que determina a constante da solução a partir de um PVI genérico.

Passo 2

Primeiro passo de resolução (manipulação algébrica): isolar os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{x e^{x}}{2 y}.
Multiplicando ambos os lados por 2y\,dx obtemos
2y\,dy = x e^{x}\,dx.
Isto coloca a equação numa forma onde cada lado depende só de uma variável — assim podemos integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int 2y\,dy = \int x e^{x}\,dx.
Vou desenvolver cada integral com calma.
Para a integral à esquerda use que \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}. Então
\int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2} = y^{2}.
Para a integral à direita \int x e^{x}\,dx usamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=x (porque derivando fica simples) e dv=e^{x}dx (porque integrar dá e^{x}). Assim du=dx e v=e^{x}. Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando os resultados das integrais obtemos a relação implícita
y^{2} = e^{x}(x-1) + C,
com C\in\mathbb{R}. Esta é a solução geral em forma implícita.
Explicação didática rápida: a constante C aparece porque ao integrar cada lado adicionamos uma constante arbitrária; por convenção agrupamos tudo numa única constante no lado direito.

Passo 5

Passando para a forma explícita em y, temos
y(x)=\pm\sqrt{\,e^{x}(x-1)+C\,}.
Aqui o sinal \pm indica duas possibilidades locais (escolha do ramo positivo ou negativo), e a expressão sob a raiz deve ser não negativa no domínio considerado para que y seja real:
e^{x}(x-1)+C \ge 0.
Observações sobre PVI: se for dado um PVI do tipo y(x_0)=y_0, determina-se C substituindo x=x_0 e y=y_0 em y^{2}=e^{x}(x-1)+C, isto é
C = y_{0}^{2} - e^{x_{0}}(x_{0}-1).
Depois disso escolhe-se o sinal (positivo ou negativo) consistente com y_0 e com a continuidade da solução.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como aplicar a fórmula do PVI): se fosse dado y(0)=1, então
C = 1^{2} - e^{0}(0-1) = 1 - 1\cdot(-1) = 2,
logo a solução particular seria
y(x)=\pm\sqrt{\,e^{x}(x-1)+2\,},
e como y(0)=1>0 escolhe-se o ramo positivo:
y(x)=\sqrt{\,e^{x}(x-1)+2\,}.

Resposta

y^{2}=e^{x}(x-1)+C,\\ C\in\mathbb{R}.
Para um PVI y(x_{0})=y_{0} tem-se C=y_{0}^{2}-e^{x_{0}}(x_{0}-1), e portanto y(x)=\pm\sqrt{\,e^{x}(x-1)+y_{0}^{2}-e^{x_{0}}(x_{0}-1)\,}.

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