Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
Passo 1
O enunciado dá a derivada de
em função de
:
O que se pede:
- Encontrar a solução geral da equação diferencial.
- Tratar o PVI (problema de valor inicial) — isto exige um valor inicial do tipo
. Observação: o enunciado não fornece nenhum nem ; portanto, na ausência desse dado só podemos dar a solução geral e a fórmula que determina a constante da solução a partir de um PVI genérico.
Passo 2
Primeiro passo de resolução (manipulação algébrica): isolar os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Escrevendo
, temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isto coloca a equação numa forma onde cada lado depende só de uma variável — assim podemos integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
Vou desenvolver cada integral com calma.
Para a integral à esquerda use que
. Então
Para a integral à direita
usamos a fórmula de integração por partes:
Escolhemos
(porque derivando fica simples) e
(porque integrar dá
). Assim
e
. Aplicando:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Igualando os resultados das integrais obtemos a relação implícita
com
. Esta é a solução geral em forma implícita.
Explicação didática rápida: a constante
aparece porque ao integrar cada lado adicionamos uma constante arbitrária; por convenção agrupamos tudo numa única constante no lado direito.
Passo 5
Passando para a forma explícita em
, temos
Aqui o sinal
indica duas possibilidades locais (escolha do ramo positivo ou negativo), e a expressão sob a raiz deve ser não negativa no domínio considerado para que
seja real:
Observações sobre PVI: se for dado um PVI do tipo
, determina-se
substituindo
e
em
, isto é
Depois disso escolhe-se o sinal (positivo ou negativo) consistente com
e com a continuidade da solução.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como aplicar a fórmula do PVI): se fosse dado
, então
logo a solução particular seria
e como
escolhe-se o ramo positivo:
Resposta
Para um PVI