Resolva as equações diferenciais do tipo de Clairaut a seguir e determine também a solução singular quando existir.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
e também determinar a solução singular, quando existir.
Informações dadas:
- A função desconhecida é
. - Denota-se
. - A equação relaciona
, e .
O que é pedido:
- Encontrar a família de soluções gerais (se houver).
- Encontrar a solução singular (caso exista), isto é, a curva envelope das retas da família (ou a solução não-obtida pelo parâmetro da família).
Passo 2
Vamos introduzir uma notação útil: seja
Reescrevendo a equação com
obtemos
onde
é, em princípio, uma função de
. Essa reescrita só trocou
por
; ainda não resolvemos nada, apenas organizamos a equação.
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
. Lembre que ao derivar uma expressão que contém
usamos a regra da cadeia e, ao derivar um produto
, usamos a regra do produto.
A derivada do lado esquerdo é
.
A derivada do lado direito é:
- de
: (produto: ), - de
: (cadeia: ).
Portanto, derivando os dois lados:
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Passo 4
Da equação
há duas possibilidades (ou “ramos”) que devem ser consideradas separadamente:
-
. -
.
Essas duas possibilidades geram tipos diferentes de solução. Vamos tratar cada uma com calma.
Passo 5
Caso 1:
.
Se então
é constante:
, com
. Como
, isso significa
, portanto
é uma reta de inclinação
.
Se
Substituindo
na equação original
obtemos a família de soluções
com parâmetro real
. Essas são retas dependentes do parâmetro
. Verificação rápida: se
então
e o lado direito
coincide com
, logo são soluções válidas.
Explicação didática curta: esse é o ramo “geral” típico de equações do tipo da dada — uma família de retas parametrizada por
.
Passo 6
Caso 2:
.
Aqui isolamos em função de
. Da igualdade segue
Aqui isolamos
Como
para todo
, é necessário que
, ou seja,
. Tomando logaritmo natural,
Lembremos que
. Então
Integramos em relação a
. Calcule a integral
Para integrar
faça a substituição
(ou use integração por partes). Com
obtém-se
Logo
Mas esse
deve satisfazer a equação original
Como
e
, o lado direito é
Portanto, para que
(obtido pela integração) satisfaça a equação original precisamos de
. Assim a constante de integração é fixada, resultando numa solução única (não uma família):
Observação alternativa (envelope): esse mesmo resultado aparece também se tratarmos a família de retas
e procurarmos sua envoltória (envelope) impondo
, o que dá
. Eliminando
obtém-se a mesma curva singular
definida para
.
Passo 7
Interpretação final e domínio:
- A família geral de soluções (soluções singulares do tipo “geral”) é a família de retas
- A solução singular (a curva envelope das retas), obtida no outro ramo, é
Essa solução existe apenas para
porque exige
para que
.