Resolva as equações diferenciais usando séries de potências:
(a) y^{\prime}=2 x y, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial com condição inicial
y' = 2 x y,\qquad y(0)=1.
Informações importantes dadas:
\text{equação: } y' = 2 x y,\qquad \text{condição inicial: } y(0)=1.çãçã
Queremos obter a solução no formato de série de potências centrada em x=0 (ou seja, a série de Taylor em torno de zero).

Passo 2

Método: suponho que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de zero. Ou seja, tomo a ansatz
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os coeficientes a_n são constantes desconhecidas que vamos determinar. A ideia é substituir essa série (e sua derivada) na equação diferencial e igualar coeficientes de potências iguais de x.

Passo 3

Calculo a derivada da série termo a termo. Temos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{\,n-1}.
Reescrevo essa soma reindexando com m=n-1 para ter potências x^m:
y'(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (m+1)\,a_{m+1}\,x^{m}.
Expliquei: a reindexação só troca o nome do índice para comparar coeficientes com outras séries que escrevamos em potências x^m.

Passo 4

Agora escrevo o lado direito 2xy usando a série de y:
2x y(x)=2x\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 2\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}.
Reindexando com m=n+1 (assim a soma começa em m=1):
2x y(x)=2\sum_{m=1}^{\infty} a_{m-1}\,x^{m}.

Passo 5

Agora igualamos as duas séries expressas em potências de x. Temos
\sum_{m=0}^{\infty} (m+1)\,a_{m+1}\,x^{m} \;=\; 2\sum_{m=1}^{\infty} a_{m-1}\,x^{m}.
Para comparar coeficientes de cada x^{m} observamos que no membro direito o termo m=0 é nulo. Assim, comparando coeficientes para m=0 obtemos
(0+1)\,a_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{1}=0.
Para m\ge 1 igualando os coeficientes de x^{m} vem
(m+1)\,a_{m+1}=2\,a_{m-1}.
Isolando a_{m+1} obtemos a recorrência
a_{m+1}=\frac{2}{m+1}\,a_{m-1},\qquad m\ge 1.

Passo 6

Use a condição inicial para obter a_0. Como y(0)=1 e y(0)=a_0, segue
a_0=1.
Observe que a recorrência relaciona a_{m+1} com a_{m-1}, ou seja, liga coeficientes com mesma paridade. Como a_1=0, por indução todos os coeficientes ímpares são zero:
a_{2k+1}=0\quad\text{para todo }k\ge 0.
Portanto a série tem apenas termos de ordem par.

Passo 7

Agora determinamos os coeficientes pares (a_{2k}). Use a recorrência para alguns termos iniciais:
\begin{aligned} \text{para }m=1:\quad & a_2=\frac{2}{2}\,a_0=1\cdot a_0=1,\\\ \text{para }m=3:\quad & a_4=\frac{2}{4}\,a_2=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2},\\\ \text{para }m=5:\quad & a_6=\frac{2}{6}\,a_4=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}. \end{aligned}
Isso sugere a fórmula
a_{2k}=\frac{1}{k!}\quad\text{para }k\ge 0.
Prova por indução simples:
  • Base k=0: a_0=1=\dfrac{1}{0!}.
  • Passo indutivo: suponha a_{2k}=\dfrac{1}{k!}. Então, aplicando a recorrência com m=2k+1,
a_{2k+2}=\frac{2}{2k+2}\,a_{2k}=\frac{1}{k+1}\cdot\frac{1}{k!}=\frac{1}{(k+1)!}.
Logo a fórmula vale para todo k.

Passo 8

Escrevo a série solução usando apenas os termos pares:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k}\,x^{2k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x^2)^k}{k!}.
Reconhecemos a série de Taylor da função exponencial, portanto
y(x)=e^{x^2}.
Verificação rápida: y(0)=e^{0}=1 (condição inicial satisfeita) e y'(x)=2x e^{x^2}=2x y(x), logo a equação diferencial também é satisfeita. A série converge para todo x (raio de convergência infinito), então a solução está definida para todo x.

Resposta

y(x)=e^{x^{2}}

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