Resolva as equações diferenciais usando séries de potências:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial com condição inicial
Informações importantes dadas:
Queremos obter a solução no formato de série de potências centrada em
(ou seja, a série de Taylor em torno de zero).
Passo 2
Método: suponho que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de zero. Ou seja, tomo a ansatz
onde os coeficientes
são constantes desconhecidas que vamos determinar. A ideia é substituir essa série (e sua derivada) na equação diferencial e igualar coeficientes de potências iguais de
.
Passo 3
Calculo a derivada da série termo a termo. Temos
Reescrevo essa soma reindexando com
para ter potências
:
Expliquei: a reindexação só troca o nome do índice para comparar coeficientes com outras séries que escrevamos em potências
.
Passo 4
Agora escrevo o lado direito
usando a série de
:
Reindexando com
(assim a soma começa em
):
Passo 5
Agora igualamos as duas séries expressas em potências de
. Temos
Para comparar coeficientes de cada
observamos que no membro direito o termo
é nulo. Assim, comparando coeficientes para
obtemos
Para
igualando os coeficientes de
vem
Isolando
obtemos a recorrência
Passo 6
Use a condição inicial para obter
. Como
e
, segue
Observe que a recorrência relaciona
com
, ou seja, liga coeficientes com mesma paridade. Como
, por indução todos os coeficientes ímpares são zero:
Portanto a série tem apenas termos de ordem par.
Passo 7
Agora determinamos os coeficientes pares
. Use a recorrência para alguns termos iniciais:
Isso sugere a fórmula
Prova por indução simples:
- Base
: . - Passo indutivo: suponha
. Então, aplicando a recorrência com ,
Logo a fórmula vale para todo
.
Passo 8
Escrevo a série solução usando apenas os termos pares:
Reconhecemos a série de Taylor da função exponencial, portanto
Verificação rápida:
(condição inicial satisfeita) e
, logo a equação diferencial também é satisfeita. A série converge para todo
(raio de convergência infinito), então a solução está definida para todo
.