Resolva as equações diferenciais usando séries de potências:
(b) y^{\prime \prime}-x y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando séries de potências:
y'' - x y = 0,
com condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações dadas e o que se quer encontrar:
\text{Dado: }y''-x y=0,\; y(0)=0,\; y'(0)=1.
\text{Procuramos: uma solução }y(x)\text{ expressa como série de potências centrada em }x=0\text{ que satisfaça as condições iniciais.}
Passo 2
Vamos assumir que a solução pode ser escrita como série de potências centrada em zero:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes desconhecidos que vamos determinar. Essa hipótese é natural: muitas EDOs com coeficientes polinomiais admitem soluções em série de potências.
Passo 3
Derivamos termo a termo a série para obter y' e y''. Lembre que ao derivar \sum_{n=0}^\infty a_n x^n obtemos \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}.
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n},
É conveniente reindexar colocando m=n-1. Assim para m\ge0
a_{m+3}=\frac{a_m}{(m+3)(m+2)}.
Isso mostra que os coeficientes se conectam de três em três: a_0\to a_3\to a_6\to\cdots, a_1\to a_4\to a_7\to\cdots, a_2\to a_5\to a_8\to\cdots.
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais para fixar a_0,a_1. Pela definição da série,
y(0)=a_0=0.
Pela expressão de y' em x=0,
y'(0)=a_1=1.
Já tínhamos a_2=0 do Passo 5. Portanto os termos iniciais são a_0=0,\; a_1=1,\; a_2=0. Usando a recorrência, os únicos coeficientes possivelmente não nulos serão os da sequência começando em a_1, isto é a_{1},a_{4},a_{7},\dots — os demais serão zero.
Passo 7
Vamos calcular alguns coeficientes explicitamente para ver o padrão. Usando a_{m+3}=a_m/((m+3)(m+2)) com a_1=1:
para qualquer x fixo, portanto a série converge absolutamente para todo x (raio de convergência infinito). A série encontrada é justamente a solução única da EDO que satisfaz as condições iniciais. (Essa solução é a combinação apropriada das funções de Airy em torno de zero, mas aqui nos bastou o desenvolvimento em série.)