Resolva as equações diferenciais usando séries de potências:
(b) y^{\prime \prime}-x y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando séries de potências:
y'' - x y = 0,
com condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações dadas e o que se quer encontrar:
\text{Dado: }y''-x y=0,\; y(0)=0,\; y'(0)=1.
\text{Procuramos: uma solução }y(x)\text{ expressa como série de potências centrada em }x=0\text{ que satisfaça as condições iniciais.}çãéêççõ

Passo 2

Vamos assumir que a solução pode ser escrita como série de potências centrada em zero:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes desconhecidos que vamos determinar. Essa hipótese é natural: muitas EDOs com coeficientes polinomiais admitem soluções em série de potências.

Passo 3

Derivamos termo a termo a série para obter y' e y''. Lembre que ao derivar \sum_{n=0}^\infty a_n x^n obtemos \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}.
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.

Passo 4

Escrevemos também o termo x y como série e alinhamos potências de x^n:
x y(x)=x\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n}.
Agora substituímos na EDO y''-x y=0. Igualando coeficientes de x^n obtemos (para n\ge 0)
(n+2)(n+1) a_{n+2} - (\text{coeficiente de }x^n\text{ em }xy)=0.
Note que o coeficiente de x^n em xy é a_{n-1} para n\ge1, e não existe para n=0. Portanto, para n=0 e para n\ge1 temos casos separados.

Passo 5

Caso n=0: o termo de xy não contribui, então
(0+2)(0+1)a_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_2=0.
Para n\ge1 temos a relação de recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_{n-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}.
É conveniente reindexar colocando m=n-1. Assim para m\ge0
a_{m+3}=\frac{a_m}{(m+3)(m+2)}.
Isso mostra que os coeficientes se conectam de três em três: a_0\to a_3\to a_6\to\cdots, a_1\to a_4\to a_7\to\cdots, a_2\to a_5\to a_8\to\cdots.

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais para fixar a_0,a_1. Pela definição da série,
y(0)=a_0=0.
Pela expressão de y' em x=0,
y'(0)=a_1=1.
Já tínhamos a_2=0 do Passo 5. Portanto os termos iniciais são a_0=0,\; a_1=1,\; a_2=0. Usando a recorrência, os únicos coeficientes possivelmente não nulos serão os da sequência começando em a_1, isto é a_{1},a_{4},a_{7},\dots — os demais serão zero.

Passo 7

Vamos calcular alguns coeficientes explicitamente para ver o padrão. Usando a_{m+3}=a_m/((m+3)(m+2)) com a_1=1:
a_4=\frac{a_1}{4\cdot 3}=\frac{1}{12},
a_7=\frac{a_4}{7\cdot 6}=\frac{1}{12\cdot 42}=\frac{1}{504},
a_{10}=\frac{a_7}{10\cdot 9}=\frac{1}{504\cdot 90}=\frac{1}{45360},
a_{13}=\frac{a_{10}}{13\cdot 12}=\frac{1}{45360\cdot 156}=\frac{1}{7076160},
e assim por diante. Note que apenas índices n da forma n=3k+1 têm coeficiente não-nulo.

Passo 8

Escrevemos a fórmula geral para os coeficientes não nulos. Para k\ge0 (com a_1=1) temos
a_{3k+1}=\frac{1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} \bigl( (3j+1)(3j)\bigr)},
onde, por convenção, o produto vazio para k=0 vale 1. Isso é apenas a aplicação iterada da recorrência k vezes a partir de a_1.

Passo 9

Agora escrevemos a solução como série usando somente os termos não nulos:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{3k+1} x^{3k+1} =\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{x^{3k+1}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} \bigl( (3j+1)(3j)\bigr)}\right).
Listando os primeiros termos:
y(x)=x+\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{7}}{504}+\frac{x^{10}}{45360}+\frac{x^{13}}{7076160}+\cdots.

Passo 10

Comentário sobre convergência e interpretação: para coeficientes a_{3k+1} vale
\frac{a_{3(k+1)+1} x^{3(k+1)+1}}{a_{3k+1} x^{3k+1}}=\frac{x^3}{(3k+4)(3k+3)}\xrightarrow[k\to\infty]{}0
para qualquer x fixo, portanto a série converge absolutamente para todo x (raio de convergência infinito). A série encontrada é justamente a solução única da EDO que satisfaz as condições iniciais. (Essa solução é a combinação apropriada das funções de Airy em torno de zero, mas aqui nos bastou o desenvolvimento em série.)

Resposta

y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k+1}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k}\bigl((3j+1)(3j)\bigr)} = x+\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{7}}{504}+\frac{x^{10}}{45360}+\cdots

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