Use séries para calcular os limites:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite usando séries:
Informações importantes que temos:
é a função seno e estamos analisando o comportamento quando
tende a
. O enunciado explicitamente pede para usar séries (expansão em série de Taylor/Maclaurin) em torno de
.
Passo 2
Explicação da ferramenta que vamos usar — série de Taylor (Maclaurin) em torno de
.
A série de Taylor de uma função
em torno de
(Maclaurin) é dada por
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Na prática, para limites próximos de
muitas vezes precisamos apenas dos primeiros termos da série: um polinômio que aproxime a função com erro controlado (restante de ordem maior em
).
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula ao caso
. Precisamos das derivadas de
avaliadas em
, pelo menos até a terceira derivada, porque o denominador tem
.
As primeiras derivadas são:
Avaliando em
:
Passo 4
Construímos a série de Maclaurin de
usando os coeficientes obtidos. Os termos até a ordem
são:
Substituindo os valores:
Portanto, isolando os termos conhecidos,
Como
, podemos escrever
onde
significa “termos que são da ordem de
ou maior” quando
. (Aqui usamos que os próximos termos da série de
começam em
.)
Passo 5
Agora calculamos o numerador
usando a expansão:
Passo 6
Dividimos por
:
Aqui
significa termos que tendem a
como
(especificamente, são da ordem de
). Logo, ao tomar o limite
, esses termos
desaparecem.
Passo 7
Conclusão do limite: como o termo
tende a
quando
, ficamos com o termo constante
. Portanto o limite é
.