Use séries para calcular os limites:
(b) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite usando séries:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^{3}}.
Informações importantes que temos: \sin x é a função seno e estamos analisando o comportamento quando x tende a 0. O enunciado explicitamente pede para usar séries (expansão em série de Taylor/Maclaurin) em torno de \,0.

Passo 2

Explicação da ferramenta que vamos usar — série de Taylor (Maclaurin) em torno de \,0.
A série de Taylor de uma função f em torno de 0 (Maclaurin) é dada por
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Na prática, para limites próximos de 0 muitas vezes precisamos apenas dos primeiros termos da série: um polinômio que aproxime a função com erro controlado (restante de ordem maior em x).

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula ao caso f(x)=\sin x. Precisamos das derivadas de \sin x avaliadas em 0, pelo menos até a terceira derivada, porque o denominador tem x^{3}.
As primeiras derivadas são:
f(x)=\sin x,
f'(x)=\cos x,
f''(x)=-\sin x,
f^{(3)}(x)=-\cos x.
Avaliando em 0:
f(0)=\sin 0=0,
f'(0)=\cos 0=1,
f''(0)=-\sin 0=0,
f^{(3)}(0)=-\cos 0=-1.

Passo 4

Construímos a série de Maclaurin de \sin x usando os coeficientes obtidos. Os termos até a ordem x^{3} são:
\sin x = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3} + \cdots.
Substituindo os valores:
\sin x = 0 + 1\cdot x + \frac{0}{2!}x^{2} + \frac{-1}{3!}x^{3} + \cdots.
Portanto, isolando os termos conhecidos,
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \text{termos de ordem superior}.
Como 3!=6, podemos escrever
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}),
onde O(x^{5}) significa “termos que são da ordem de x^{5} ou maior” quando x\to 0. (Aqui usamos que os próximos termos da série de \sin x começam em x^{5}.)

Passo 5

Agora calculamos o numerador \sin x - x usando a expansão:
\sin x - x = \left(x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})\right) - x = -\frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}).

Passo 6

Dividimos por x^{3}:
\frac{\sin x - x}{x^{3}} = \frac{-\frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})}{x^{3}} = -\frac{1}{6} + O(x^{2}).
Aqui O(x^{2}) significa termos que tendem a 0 como x\to 0 (especificamente, são da ordem de x^{2}). Logo, ao tomar o limite x\to 0, esses termos O(x^{2}) desaparecem.

Passo 7

Conclusão do limite: como o termo O(x^{2}) tende a 0 quando x\to 0, ficamos com o termo constante -\dfrac{1}{6}. Portanto o limite é -\dfrac{1}{6}.

Resposta

-\dfrac{1}{6}

Exercícios relacionados