Encontre a representação em série de potências para as funções e determine o raio de convergência:
(f) f(x)=\frac{1}{4-x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função f:
f(x)=\frac{1}{4-x^{2}}.
Perguntas:
Encontrar a representação em série de potências (ou seja, uma série do tipo \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n ou equivalente centrada em 0).
Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas:
A função é racional e está escrita como \dfrac{1}{4-x^{2}}.
Não foi indicada outra base para a expansão, então vamos expandir em torno de 0 (série de potências centrada em 0).
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a série geométrica. Para um número (ou função) r com |r|<1 vale
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Aqui r é o “termo comum” da série geométrica. Essa identidade é a base para muitas expansões em série de potências — nós transformamos a função para o formato \dfrac{1}{1-r} e então lemos a série.
Passo 3
Vamos reescrever f(x) para caber na forma \dfrac{1}{1-r}. Primeiro fatoramos 4 no denominador:
O limite é \left|\dfrac{x^{2}}{4}\right|, e pelo teste da razão a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja, |x|<2. Confirmação consistente com o passo anterior.
Passo 7
Observação sobre pontos finais: em x=2 ou x=-2 o denominador 4-x^{2} zera, a função tem polos e a série não pode convergir nesses pontos. Logo a convergência é exatamente no intervalo aberto (-2,2).