Encontre a representação em série de potências para as funções e determine o raio de convergência:
(f) f(x)=\frac{1}{4-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f:
f(x)=\frac{1}{4-x^{2}}.
Perguntas:
  1. Encontrar a representação em série de potências (ou seja, uma série do tipo \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n ou equivalente centrada em 0).
  2. Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas:
  • A função é racional e está escrita como \dfrac{1}{4-x^{2}}.
  • Não foi indicada outra base para a expansão, então vamos expandir em torno de 0 (série de potências centrada em 0).

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a série geométrica. Para um número (ou função) r com |r|<1 vale
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Aqui r é o “termo comum” da série geométrica. Essa identidade é a base para muitas expansões em série de potências — nós transformamos a função para o formato \dfrac{1}{1-r} e então lemos a série.

Passo 3

Vamos reescrever f(x) para caber na forma \dfrac{1}{1-r}. Primeiro fatoramos 4 no denominador:
\frac{1}{4-x^{2}}=\frac{1}{4\left(1-\dfrac{x^{2}}{4}\right)}.
Agora observamos que isso é \dfrac{1}{4} vezes \dfrac{1}{1-r} com
r=\frac{x^{2}}{4}.
Ou seja,
\frac{1}{4-x^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x^{2}}{4}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da série geométrica com r=\dfrac{x^{2}}{4} (desde que |r|<1), obtemos
\frac{1}{1-\dfrac{x^{2}}{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n}.
Multiplicando por \dfrac{1}{4}, a representação em série de potências de f é
\frac{1}{4-x^{2}}=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n}.
Podemos simplificar a escrita combinando potências:
\frac{1}{4-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{4^{\,n+1}}.
Para dar uma sensação prática, os primeiros termos dessa série são
\frac{1}{4}+\frac{x^{2}}{4^{2}}+\frac{x^{4}}{4^{3}}+\frac{x^{6}}{4^{4}}+\cdots.

Passo 5

Agora determinamos o raio de convergência. Pela condição da série geométrica precisa valer |r|<1. Aqui r=\dfrac{x^{2}}{4}, então
\left|\frac{x^{2}}{4}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<4.
Isso dá
|x|<2.
Portanto o raio de convergência é 2. A série converge para todo x com |x|<2.

Passo 6

Verificação pelo teste da razão (opcional, para aprender outra técnica): escrevendo a_n=\dfrac{x^{2n}}{4^{\,n+1}} temos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\left|\frac{x^{2(n+1)}}{4^{\,n+2}}\cdot\frac{4^{\,n+1}}{x^{2n}}\right| =\left|\frac{x^{2}}{4}\right|.
O limite é \left|\dfrac{x^{2}}{4}\right|, e pelo teste da razão a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja, |x|<2. Confirmação consistente com o passo anterior.

Passo 7

Observação sobre pontos finais: em x=2 ou x=-2 o denominador 4-x^{2} zera, a função tem polos e a série não pode convergir nesses pontos. Logo a convergência é exatamente no intervalo aberto (-2,2).

Resposta

\frac{1}{4-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{4^{\,n+1}}=\frac{1}{4}+\frac{x^{2}}{4^{2}}+\frac{x^{4}}{4^{3}}+\cdots
Raio de convergência: R=2

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