Resolva as equações diferenciais usando uma substituição apropriada.
\left(y^{2}+y x") d x-x^{2} d y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(y^2 + yx\bigr)\,dx - x^2\,dy = 0
e pede para resolvê-la com uma substituição adequada. Aqui reconhecemos que é uma equação de primeira ordem homogênea em x e y, pois cada termo é de grau 2 em x e y. Para resolver, vamos usar a substituição
y = v\,x,
onde v é função de x.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Temos
M(x,y)=y^2 + yx, \qquad N(x,y)=-x^2.
Dividindo por dx e isolando y', obtemos
y^2 + yx - x^2\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2\,y' = y^2 + yx.
Logo
y' = \frac{y^2 + yx}{x^2} = \frac{y^2}{x^2} + \frac{y}{x}.

Passo 3

Agora aplicamos a substituição y=v x. Então
y' = v + x\frac{dv}{dx},
e também
\frac{y}{x} = v, \qquad \frac{y^2}{x^2} = v^2.
Substituindo em y' = v^2 + v, vem
v + x\frac{dv}{dx} = v^2 + v.

Passo 4

Cancelamos o v em ambos os lados e isolamos dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = v^2,
ou seja
\frac{dv}{v^2} = \frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos os dois lados:
\int \frac{dv}{v^2} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{v} = \ln\bigl|x\bigr| + C,
onde C é a constante de integração. Então
\frac{1}{v} = -\ln\bigl|x\bigr| - C = \ln\bigl|x\bigr|\,(-1) - C
e podemos reescrever -C como outra constante C_1, ficando
v = \frac{1}{C_1 - \ln\bigl|x\bigr|}.

Passo 6

Voltando à variável original y=vx, obtemos
y = x\,v = \frac{x}{\,C_1 - \ln|x|\,}.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{x}{C - \ln\bigl|x\bigr|},}
onde C é constante arbitrária.

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