1. Num instante t=0 um tanque contém Q_{0} libras de sal dissolvido em 100 galões de água. Suponha que está entrando no tanque, a uma taxa de r gaões por minuto, água contendo 1 de libra de sal por galo, e que a mistura bem mexida está saindo do tanque á mesma taxa.
    (a) Escreva o problema de valor inicial que descreve esse fluxo.
    (b) Encontre a quantidade de sal Q(t) em qualquer instante t e, também, a quantidade limite Q_{L} presente após um longo período de tempo.
    (c) Se r=3 e Q_{0}=2 Q_{L}, encontre o instante T após o qual o nível de sal está a 2 \% de Q_{L}. Encontre também a taxa de fluxo necessária para que o valor de T não ultrapasse 45 minutos.

Passo 1

O enunciado trata de um tanque com volume constante de 100 galões, contendo inicialmente Q_{0} libras de sal. Entra água à taxa r gal/min com concentração de 1 lb/gal e sai mistura bem mexida à mesma vazão r. O conteúdo da matéria é equação diferencial linear de primeira ordem para modelar processos de mistura. Vamos formular o problema de valor inicial e depois resolver para Q(t) e o valor limite Q_{L}.

Passo 2

A variação de sal no tanque é dado por
\frac{dQ}{dt} = (\text{taxa de entrada}) - (\text{taxa de saída}).í
Como entra sal à razão r\cdot1 lb/min e sai à razão r\cdot\frac{Q}{100} lb/min, o ODE fica
\frac{dQ}{dt} = r - \frac{r}{100}\,Q,
com condição inicial
Q(0)=Q_{0}.

Passo 3

Para resolver
\frac{dQ}{dt} + \frac{r}{100}Q = r
usamos fator integrante \mu(t)=e^{\frac{r}{100}t}. Multiplicando e integrando, obtemos a solução geral
Q(t) = Q_{L} + \bigl(Q_{0}-Q_{L}\bigr)\,e^{-\frac{r}{100}t},
onde o estado estacionário Q_{L} satisfaz 0 = r - \tfrac{r}{100}Q_{L}, isto é,
Q_{L}=100\\ \text{libras}.

Passo 4

Para r=3 gal/min e Q_{0}=2Q_{L}=200, temos
Q(t)=100 + (200-100)\,e^{-\frac{3}{100}t} = 100 + 100\,e^{-\frac{3}{100}t}.
Queremos o instante T em que \bigl|Q(T)-Q_{L}\bigr|\le 0{,}02\,Q_{L}. Como Q(T)-Q_{L}=100\,e^{-3T/100}, impomos
100\,e^{-\frac{3}{100}T} = 0{,}02\cdot100 = 2 \quad\Longrightarrow\quad e^{-\frac{3}{100}T} = 0{,}02 \quad\Longrightarrow\quad T = -\frac{100}{3}\ln(0{,}02).

Passo 5

Para que esse tempo T não ultrapasse 45 min, exigimos
-\frac{100}{r}\ln(0{,}02)\le45 \quad\Longrightarrow\quad r \ge -\frac{100}{45}\ln(0{,}02).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dQ}{dt}=r-\frac{r}{100}Q,\;Q(0)=Q_{0}.
(b) \displaystyle Q(t)=100+(Q_{0}-100)e^{-\frac{r}{100}t},\quad Q_{L}=100.
(c) \displaystyle T=-\frac{100}{3}\ln(0{,}02) e \displaystyle r\ge -\frac{100}{45}\ln(0{,}02).

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