Num instante t=0 um tanque contém Q_{0} libras de sal dissolvido em 100 galões de água. Suponha que está entrando no tanque, a uma taxa de r gaões por minuto, água contendo 1 de libra de sal por galo, e que a mistura bem mexida está saindo do tanque á mesma taxa.
(a) Escreva o problema de valor inicial que descreve esse fluxo.
(b) Encontre a quantidade de sal Q(t) em qualquer instante t e, também, a quantidade limite Q_{L} presente após um longo período de tempo.
(c) Se r=3 e Q_{0}=2 Q_{L}, encontre o instante T após o qual o nível de sal está a 2 \% de Q_{L}. Encontre também a taxa de fluxo necessária para que o valor de T não ultrapasse 45 minutos.
Passo 1
O enunciado trata de um tanque com volume constante de 100 galões, contendo inicialmente Q_{0} libras de sal. Entra água à taxa r gal/min com concentração de 1 lb/gal e sai mistura bem mexida à mesma vazão r. O conteúdo da matéria é equação diferencial linear de primeira ordem para modelar processos de mistura. Vamos formular o problema de valor inicial e depois resolver para Q(t) e o valor limite Q_{L}.
Passo 2
A variação de sal no tanque é dado por
\frac{dQ}{dt} = (\text{taxa de entrada}) - (\text{taxa de saída}).
Como entra sal à razão r\cdot1 lb/min e sai à razão r\cdot\frac{Q}{100} lb/min, o ODE fica
\frac{dQ}{dt} = r - \frac{r}{100}\,Q,
com condição inicial
Q(0)=Q_{0}.
Passo 3
Para resolver
\frac{dQ}{dt} + \frac{r}{100}Q = r
usamos fator integrante \mu(t)=e^{\frac{r}{100}t}. Multiplicando e integrando, obtemos a solução geral