Resolva as equações diferenciais usando uma substituição apropriada.
d x+x^{2} d y=0);
d x+x^{2} d y=0);
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
reconhecendo que se trata de uma equação de primeira ordem homogênea. Para essas equações, usamos a substituição
onde
é função de
. A ideia é reduzir tudo a uma equação separável em
e
.
Passo 2
Para ver que a equação é homogênea, note que os coeficientes
são ambos polinômios homogêneos de grau 2 em
. Logo, podemos aplicar
.
Passo 3
Tomando
substituímos em
Temos
e
Somando,
Passo 4
Dividindo toda a equação por
(supondo
):
Agora está separada em variáveis
e
.
Passo 5
Integramos cada parte:
Para a segunda integral, use frações parciais:
logo
E a primeira integral é
. Assim
Passo 6
Voltando a
, obtemos a solução implícita:
Elevando exponencialmente e reunindo constantes, uma forma mais simples é
onde
é constante arbitrária.