Resolva as equações diferenciais usando uma substituição apropriada.
\left(y^{2}+x y d x+x^{2} d y=0);

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(y^{2}+x\,y\bigr)\,dx + x^{2}\,dy = 0
reconhecendo que se trata de uma equação de primeira ordem homogênea. Para essas equações, usamos a substituição
y = v x,
onde v é função de x. A ideia é reduzir tudo a uma equação separável em v e x.

Passo 2

Para ver que a equação é homogênea, note que os coeficientes
M(x,y)=y^{2}+x\,y \quad\text{e}\quad N(x,y)=x^{2}
são ambos polinômios homogêneos de grau 2 em x,y. Logo, podemos aplicar y=vx.

Passo 3

Tomando
y = v x \quad\Longrightarrow\quad dy = v\,dx + x\,dv,
substituímos em
\bigl(y^{2}+x\,y\bigr)\,dx + x^{2}\,dy = 0.
Temos
(y^{2}+x\,y)\,dx = \bigl(v^{2}x^{2}+v x^{2}\bigr)\,dx = x^{2}(v^{2}+v)\,dx
e
x^{2}\,dy = x^{2}\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr) = x^{2}v\,dx + x^{3}\,dv.
Somando,
x^{2}(v^{2}+v)\,dx + x^{2}v\,dx + x^{3}\,dv = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}(v^{2}+2v)\,dx + x^{3}\,dv = 0.

Passo 4

Dividindo toda a equação por x^{2} (supondo x\neq0):
(v^{2}+2v)\,dx + x\,dv = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} + \frac{dv}{v^{2}+2v} = 0.
Agora está separada em variáveis x e v.

Passo 5

Integramos cada parte:
\int \frac{dx}{x} + \int \frac{dv}{v(v+2)} = C.
Para a segunda integral, use frações parciais:
\frac{1}{v(v+2)} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{v}-\frac{1}{v+2}\Bigr),
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\int \frac{dv}{v(v+2)} = \frac{1}{2}\int\Bigl(\frac{1}{v}-\frac{1}{v+2}\Bigr)dv = \frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{v}{v+2}\Bigr|.
E a primeira integral é \ln|x|. Assim
\ln|x| + \frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{v}{v+2}\Bigr| = C.

Passo 6

Voltando a v = \frac{y}{x}, obtemos a solução implícita:
\ln|x| + \frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{y/x}{y/x+2}\Bigr| = C \;\Longrightarrow\; \ln|x| + \frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{y}{y+2x}\Bigr| = C.
Elevando exponencialmente e reunindo constantes, uma forma mais simples é
\frac{x^{2}\,y}{y+2x} = C_1,
onde C_1 é constante arbitrária.

Resposta

\frac{x^{2}\,y}{y + 2x} = C.

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