Resolva as equações diferenciais
ux x=-uy y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação em duas variáveis
uxx = -,uyy,
que é a mesma coisa que
uxx + uyy = 0,
ou seja, a equação de Laplace no plano (x,y). Uma maneira elegante de resolver é usar variáveis complexas, mas poderíamos também separar variáveis para obter séries de senos, cossenos e exponenciais.

Passo 2

Definimos as variáveis complexas
z = x + i,y, z = x - i,y
Os operadores de derivada viram
partialpartial z = tfrac12gl(partialpartial x-i,partialpartial ygr), partialpartial z = tfrac12gl(partialpartial x+i,partialpartial ygr)
Então
partial^2 upartial z,partial z = 14l(uxx+uyyr)
Como queremos uxx+uyy=0, isso equivale a
uzz=0

Passo 3

A condição uzz=0 diz que a derivada mista de u se anula, logo u é soma de uma função de z com outra de z. Integrando em z e em seguida em z obtemos a forma geral
u(x,y) = F(z) + G(z),
onde F e G são funções arbitrárias de classe C^2.

Resposta

u(x,y) = Fl(x+iyr) ;+; Gl(x-iyr),
com F e G funções arbitrárias duas vezes diferenciáveis.

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