Resolva as equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação em duas variáveis
que é a mesma coisa que
ou seja, a equação de Laplace no plano
. Uma maneira elegante de resolver é usar variáveis complexas, mas poderíamos também separar variáveis para obter séries de senos, cossenos e exponenciais.
Passo 2
Definimos as variáveis complexas
Os operadores de derivada viram
Então
Como queremos
, isso equivale a
Passo 3
A condição
diz que a derivada mista de
se anula, logo
é soma de uma função de
com outra de
. Integrando em
e em seguida em
obtemos a forma geral
onde
e
são funções arbitrárias de classe
.
Resposta
com
e
funções arbitrárias duas vezes diferenciáveis.