Exercício 6. Em quais pontos do gráfico de f(x)=2 x^3-x^2-12 x+1 a reta tangente é horizontal?

Passo 1

O enunciado pede os pontos do gráfico de f(x)=2x^3 - x^2 -12x +1 onde a reta tangente é horizontal. Isso significa achar onde a derivada primeira se anula, pois tangente horizontal \Leftrightarrow\ f'(x)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra de potência termo a termo:
f'(x) = ddxl(2x^3r) - ddxl(x^2r) - ddxl(12xr) + ddxl(1r) =6x^2 -2x -12

Passo 3

Para tangente horizontal, impomos
6x^2 -2x -12 = 0
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
3x^2 - x - 6 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática 3x^2 - x -6 = 0, calculamos o discriminante:
De<a = (-1)^2 -4cdot3cdot(-6) = 1 +72 =73
Logo as raízes são
x = 1 pm raiz736

Passo 5

Cada ponto de tangente horizontal tem coordenada xi dada acima e yi = f(xi). Assim os pontos são
l(tfrac1+raiz736,,fl(tfrac1+raiz736r)r) e l(tfrac1-raiz736,,fl(tfrac1-raiz736r)r),
onde
fl(tfrac1pmraiz736r) =2l(tfrac1pmraiz736r)^3 -l(tfrac1pmraiz736r)^2 -12l(tfrac1pmraiz736r) +1

Resposta

gl(tfrac1+raiz736,,fl(tfrac1+raiz736r)gr) gl(tfrac1-raiz736,,fl(tfrac1-raiz736r)gr)

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