Resolva as equações diferenciais:
(x^2+y^2+2 x) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(x^2+y^2+2x),dx + 2xy,dy = 0
O conteúdo é equações exatas. Vamos verificar se ela é exata, depois encontrar a função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^2+y^2+2x, N(x,y) = 2xy
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 2y, partial Npartial x = 2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Se a equação é exata, existe Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y), partial Phipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
Phi(x,y) = integral (x^2+y^2+2x),dx = x^33 + x,y^2 + x^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), derivamos Phi em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial Phipartial y = 2x,y + h'(y) stackrel!= 2x,y Longrightarrow h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=constante

Passo 5

Logo, a solução geral implícita é
Phi(x,y) = x^33 + x,y^2 + x^2 = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^33 + x,y^2 + x^2 = C

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