Resolva os problemas de valor inicial:
\left{ ly^prime+3 t^2 y=e^-t^3+t y(0)=2\right.

Passo 1

O problema é um EDO linear de primeira ordem com valor inicial: y’ + 3 t^2 y = e{-t3 + t}, y(0)=2. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Para EDO da forma y’ + p(t) y = g(t), calculamos o fator integrante μ(t) = exp(∫p(t) dt). Aqui p(t) = 3t^2, então
mu(t) = e^integral 3t^2 ,dt = e^t^3

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por μ(t) para tornar o lado esquerdo uma derivada exata:
e^t^3 y' + 3t^2 e^t^3 y = e^t^3 e^-t^3 + t = e^t

Passo 4

Repare que o lado esquerdo é a derivada de y e{t3}:
ddtl(y e^t^3r) = e^t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
y e^t^3 = integral e^t ,dt = e^t + C

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=2 para achar C:
y(0)e^0^3 = 2 = e^0 + C = 1 + C implies C = 1

Resposta

A solução do valor inicial é
y(t) = l(e^t + 1r) e^-t^3

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