Resolva as equações diferenciais:
(x^3-3 x y^2+2) d x-(3 x^2 y-y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x^3 - 3 x y^2 + 2),dx - (3 x^2 y - y^2),dy = 0,
que vamos resolver pelo método de equação exata, ou seja, procurando uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x = M(x,y) e partial Fpartial y = N(x,y)

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^3 - 3 x y^2 + 2, N(x,y) = -l(3 x^2 y - y^2r) = -3x^2 y + y^2
Para verificar exatidão comparamos
partial M/partial y e partial N/partial x:
partial Mpartial y = -6xy, partial Npartial x = -6xy
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão existe F(x,y) tal que
partial F/partial x = M. Integramos M em relação a x:
F(x,y) = integrall(x^3 - 3x y^2 + 2r),dx = x^44 - 32x^2 y^2 + 2x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que depende só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos partial F/partial y = N:
partial Fpartial y = -3x^2 y + h'(y) stackrel!= N(x,y) = -3x^2 y + y^2
Daí segue h'(y)=y^2 e, integrando,
h(y) = integral y^2,dy = y^33

Passo 5

Substituindo h(y) em F, obtemos a solução geral implícita
F(x,y) = x^44 - 32x^2 y^2 + 2x + y^33 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^44 - 32x^2 y^2 + 2x + y^33 = C

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