Resolva as equações diferenciais.
(x^2+y^2+x) d x+y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x^2+y^2+xr),dx + y,dy = 0
e pede a sua solução geral. Isso é uma equação da forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde M(x,y)=x^2+y^2+x e N(x,y)=y. Vamos usar o método de fatores integrantes para torná-la exata.

Passo 2

Verificamos se é exata calculando
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=0
Como 2yneq0, a equação não é exata. Para achar um fator integrante mu(x) dependente só de x, usamos a condição
partial Mpartial y-partial Npartial xN =2y-0y=2,
que é função de x (na verdade uma constante). Então
mu(x)=exp!l(integral 2,dxr)=e^2x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por e^2x, obtendo
l(x^2+y^2+xr)e^2x,dx + y,e^2x,dy=0
Definimos
widehat M(x,y)=(x^2+y^2+x)e^2x, widehat N(x,y)=y,e^2x
Verificamos agora a exatidão:
partial widehat Mpartial y=2y,e^2x, partial widehat Npartial x=2y,e^2x,
logo a equação é exata.

Passo 4

Existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=widehat M(x,y)
Integramos em x:
Phi(x,y) =integral (x^2+x+y^2)e^2x,dx + h(y)
Calculando os integrais por partes, encontra-se
integral(x^2+x)e^2xdx = x^2e^2x2, integral y^2e^2xdx = y^2e^2x2,
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Phi(x,y)=(x^2+y^2)e^2x2+h(y)

Passo 5

Para determinar h(y), impomos
partial Phipartial y = y,e^2x+h'(y) stackrel!=widehat N(x,y)=y,e^2x
Daí h'(y)=0, ou seja h(y)=constante.

Resposta

A solução implícita geral é
(x^2+y^2)e^2x2=C
ou, equivalentemente,
(x^2+y^2),e^2x=C',
com C' constante arbitrária.

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