Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a sua solução geral. Isso é uma equação da forma
onde
e
. Vamos usar o método de fatores integrantes para torná-la exata.
Passo 2
Verificamos se é exata calculando
Como
, a equação não é exata. Para achar um fator integrante
dependente só de
, usamos a condição
que é função de
(na verdade uma constante). Então
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
Definimos
Verificamos agora a exatidão:
logo a equação é exata.
Passo 4
Existe uma função potencial
tal que
Integramos em
:
Calculando os integrais por partes, encontra-se
logo
Passo 5
Para determinar
, impomos
Daí
, ou seja
.
Resposta
A solução implícita geral é
ou, equivalentemente,
com
constante arbitrária.