Calcule em cada item todas as derivadas parciais da função dada:
Exemplo
f(x, y)=1-y(1-1x)^23
f(x, y)= & (1-y) cdot((1-1x)^-23)=(1-y) cdot(x^-23 circ(1-x^-1)) partial fpartial x(x, y) & =partialpartial x((1-y) cdot(x^-23 circ(1-x^-1))) & =(1-y) cdot partialpartial x(x^-23 circ(1-x^-1)) & =(1-y) cdot partialpartial x(x^-23)(1-x^-1) cdot partialpartial x(1-x^-1) & =(1-y) cdot(-23(1-x^-1)^-53) cdot(0-(-1) x^-2) & =-2(1-y)3(1-1x)^53 x^2
f(x, y)=1-y(1-1x)^23=1(1-1x)^23-1(1-1x)^23 cdot y
partial fpartial y(x, y)=partialpartial y(1(1-1x)^23-1(1-1x)^23 cdot y)
=partialpartial y(1(1-1x)^23)-partialpartial y(1(1-1x)^23 cdot y)
=0-1(1-1x)^23 cdot partialpartial y(y)
=-1(1-1x)^23 cdot 1
=-1(1-1x)^23
Portanto:
partial fpartial x(x, y)=-2(1-y)3(1-1x)^53 x^2, partial fpartial y(x, y)=-1(1-1x)^23

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=1-yl(1-tfrac1xr)^tfrac23
O conteúdo envolvido é derivada parcial, aplicando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para partial fpartial x escrevemos
f(x,y)=(1-y),l(1-x^-1r)^-tfrac23
Como (1-y) independe de x, temos
partial fpartial x =(1-y),ddxl[(1-x^-1)^-tfrac23r]
Pela regra da cadeia,
ddxl(1-x^-1r)^-tfrac23 =-tfrac23l(1-x^-1r)^-tfrac53cdotddx(1-x^-1) =-tfrac23l(1-x^-1r)^-tfrac53cdot x^-2
Logo
partial fpartial x(x,y) =(1-y),l(-tfrac23r)l(1-x^-1r)^-tfrac53,x^-2 =-2(1-y)3,x^2,l(1-tfrac1xr)^tfrac53

Passo 3

Para partial fpartial y reescrevemos
f(x,y)=1l(1-tfrac1xr)^tfrac23-yl(1-tfrac1xr)^tfrac23
A primeira parcela não depende de y, então sua derivada é zero, e na segunda usamos derivada de y que vale 1. Assim
partial fpartial y(x,y) =0-1l(1-tfrac1xr)^tfrac23 =-1l(1-tfrac1xr)^tfrac23

Resposta

partial fpartial x(x,y) =-2(1-y)3,x^2,l(1-tfrac1xr)^tfrac53, partial fpartial y(x,y) =-1l(1-tfrac1xr)^tfrac23

Exercícios relacionados