Resolva as equações diferenciais.
2 x y d x+(x^2+1) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2,x,y,dx + l(x^2+1r),dy = 0
e pede a solução geral. Este é um problema de equação exata, então vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2,x,y e N(x,y) = x^2 + 1
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 2x, partial Npartial x = 2x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y) = 2,x,y
Integrando em relação a x:
Phi(x,y) = integral 2,x,y,dx = x^2y + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos a condição
partial Phipartial y = N(x,y) = x^2 + 1
Derivando a expressão obtida:
partial Phipartial y = x^2 + h'(y) ;=; x^2 + 1 Longrightarrow h'(y) = 1 Longrightarrow h(y) = y

Passo 5

Assim a função potencial completa é
Phi(x,y) = x^2y + y
A solução implícita da equação exata é
Phi(x,y) = C Longrightarrow x^2y + y = C

Passo 6

Isolando y na solução implícita:
y,(x^2+1) = C Longrightarrow y = Cx^2+1

Resposta

y = Cx^2+1,
onde C é a constante de integração.

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