Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Este é um problema de equação exata, então vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
:
onde
é uma função desconhecida de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a condição
Derivando a expressão obtida:
Passo 5
Assim a função potencial completa é
A solução implícita da equação exata é
Passo 6
Isolando
na solução implícita:
Resposta
onde
é a constante de integração.