Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O exercício pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x·\frac{dy}{dx} = y + x^{2},\sin x com a condição y(π)=0. Aqui o conteúdo é equação linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.
x·\frac{dy}{dx} = y + x^{2},\sin x com a condição y(π)=0. Aqui o conteúdo é equação linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, dividimos ambos os lados por x (assumindo x≠0) para pôr na forma padrão dy/dx + P(x)·y = Q(x):
Nesta forma, P(x)= -1/x e Q(x)= x·sen x.
Passo 3
O próximo passo é calcular o fator integrante μ(x)=e^{∫P(x)dx}. Como P(x)= -1/x, temos
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por μ(x)=1/x. O lado esquerdo vira a derivada de (y/x):
Agora integramos ambos os lados:
Passo 5
Multiplicando por x, obtemos a solução geral
Para achar C, usamos y(π)=0: 0 = -π,\cos π + Cπ = π + Cπ ⇒ C=-1.
Passo 6
Substituindo C=-1 na solução geral, chega-se à solução particular