Resolva as equações diferenciais:
x cdot d yd x=y+x^2 cdot sen x y(pi)=0

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x·\frac{dy}{dx} = y + x^{2},\sin x com a condição y(π)=0. Aqui o conteúdo é equação linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, dividimos ambos os lados por x (assumindo x≠0) para pôr na forma padrão dy/dx + P(x)·y = Q(x):
dydx - 1x,y = x,sin x
Nesta forma, P(x)= -1/x e Q(x)= x·sen x.

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante μ(x)=e^{∫P(x)dx}. Como P(x)= -1/x, temos
μ(x)=expl(∫-tfrac1x,dxr)=exp(-ln|x|)=1x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por μ(x)=1/x. O lado esquerdo vira a derivada de (y/x):
ddxl(yxr)=sin x
Agora integramos ambos os lados:
yx=∫sin x,dx=-cos x+C

Passo 5

Multiplicando por x, obtemos a solução geral
y(x)=-x,cos x + Cx
Para achar C, usamos y(π)=0: 0 = -π,\cos π + Cπ = π + Cπ ⇒ C=-1.

Passo 6

Substituindo C=-1 na solução geral, chega-se à solução particular
y(x)=-x(cos x + 1)

Resposta

y(x)=-x(cos x+1)

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