Esboce o mapa de contornos.
Passo 1
A questão pede para desenhar o mapa de contornos da função
. Isso significa traçar as curvas onde
para vários valores de
. O conteúdo aqui é equações de nível, e vamos usar que cada nível gera uma hipérbole ou, no caso especial, retas.
Passo 2
Começamos definindo a equação de nível:
Nosso trabalho é entender que tipo de curva isso representa conforme o valor de
.
Passo 3
Para
, temos:
que dá
Então, nesse caso os contornos são duas retas passando pela origem, com inclinação
.
Passo 4
Quando
, dividimos tudo por
:
Isso é o formato padrão de uma hipérbole com eixo principal no eixo
, abrindo para a direita e para a esquerda.
Passo 5
Para
, escrevemos
e obtemos:
o que se rearranja em
Agora a hipérbole tem eixo principal no eixo
, abrindo para cima e para baixo.
Passo 6
No esboço, basta escolher alguns valores típicos, como
, desenhar as hipérboles correspondentes e incluir as retas do caso
. Note que quanto maior
, mais afastados do centro ficam os ramos. Dessa forma obtém-se o mapa de contornos completo.**
Resposta
O mapa de contornos de
consiste em:
Para : retas
.
Para : hipérboles dadas por
, com ramos abrindo para
.
Para : hipérboles dadas por
, com ramos abrindo para
.
Para
Para
Para