Esboce o mapa de contornos.
g(x,y)=x^2-3y^2

Passo 1

A questão pede para desenhar o mapa de contornos da função g(x,y)=x^2-3y^2. Isso significa traçar as curvas onde g(x,y)=k para vários valores de k. O conteúdo aqui é equações de nível, e vamos usar que cada nível gera uma hipérbole ou, no caso especial, retas.

Passo 2

Começamos definindo a equação de nível:
x^2-3y^2=k
Nosso trabalho é entender que tipo de curva isso representa conforme o valor de k.

Passo 3

Para k=0, temos:
x^2-3y^2=0
que dá
x^2=3y^2 ewline y=pmxraiz3
Então, nesse caso os contornos são duas retas passando pela origem, com inclinação pm1/raiz3.

Passo 4

Quando k>0, dividimos tudo por k:
x^2k-y^2k/3=1
Isso é o formato padrão de uma hipérbole com eixo principal no eixo x, abrindo para a direita e para a esquerda.

Passo 5

Para k<0, escrevemos k=-|k| e obtemos:
-x^2|k|+3y^2|k|=1
o que se rearranja em
y^2|k|/3-x^2|k|=1
Agora a hipérbole tem eixo principal no eixo y, abrindo para cima e para baixo.

Passo 6

No esboço, basta escolher alguns valores típicos, como k=pm1,pm2, desenhar as hipérboles correspondentes e incluir as retas do caso k=0. Note que quanto maior |k|, mais afastados do centro ficam os ramos. Dessa forma obtém-se o mapa de contornos completo.**

Resposta

O mapa de contornos de g(x,y)=x^2-3y^2 consiste em:
Para k=0: retas y=pm x/raiz3.
Para k>0: hipérboles dadas por x^2k-y^2k/3=1, com ramos abrindo para pm x.
Para k<0: hipérboles dadas por y^2|k|/3-x^2|k|=1, com ramos abrindo para pm y.

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