Resolva as equações diferenciais.
x^3 d yd x+3 x^2 y=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim: x^3 dydx + 3 x^2 y = x. O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as lineares. Pra resolver, vamos precisar conhecer o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação pra gente encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação num formato mais fácil de trabalhar. Dividimos todos os termos por x^3 para isolar dydx. Assim:
dydx + 3x y = 1x^2
Agora temos uma equação linear na forma padrão: dydx + P(x) y = Q(x), onde P(x) = 3x e Q(x) = 1x^2.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral 3x dx = e^3 ln x = x^3

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x^3:
x^3 dydx + 3 x^2 y = x
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de mu(x) y:
ddx (x^3 y) = x

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx (x^3 y) dx = integral x dx
Isso nos dá:
x^3 y = x^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos y para encontrar a solução geral:
y = x^22 + Cx^3 = 12x + Cx^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 12x + Cx^3

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