Use séries de potências para determinar as soluções
dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
, onde
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. A gente vai usar séries de potências para encontrar a solução, então precisamos entender como expandir as funções envolvidas em séries e trabalhar com cada termo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser representada por uma série de potências em torno de
:
Isso significa que
é uma soma infinita de termos envolvendo potências de
com coeficientes
que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
e
:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.
Passo 4
Substituímos
e
na equação
:
Precisamos ajustar os índices das somas para que tudo esteja em termos de
.
Passo 5
Vamos reindexar a primeira soma substituindo
por
:
Agora, ambas as somas estão em termos de
, o que facilita a comparação com a série de
.
Passo 6
Sabemos que
pode ser expandido em série de potências:
Assim, temos:
Passo 7
Comparando os coeficientes de
dos dois lados da equação, obtemos:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 8
Resolvemos a relação de recorrência para encontrar
:
Aqui,
é 1 quando
é par e 0 quando ímpar. Isso separa os casos para coeficientes pares e ímpares.
Passo 9
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
:
Com esses valores, podemos iterar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes
.
Passo 10
Calculando alguns coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Resposta
A solução da equação diferencial
com
e
é dada pela série de potências:
Onde os coeficientes seguintes são calculados usando a relação de recorrência estabelecida.