Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
y^prime prime+5 y=cos 2 x, onde y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . A gente vai usar séries de potências para encontrar a solução, então precisamos entender como expandir as funções envolvidas em séries e trabalhar com cada termo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser representada por uma série de potências em torno de :
Isso significa que é uma soma infinita de termos envolvendo potências de com coeficientes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, vamos derivar y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 para encontrar y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 e :
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.

Passo 4

Substituímos sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 + 5 sumn=0^infty an x^n = cos 2x e na equação :
Precisamos ajustar os índices das somas para que tudo esteja em termos de .

Passo 5

Vamos reindexar a primeira soma substituindo sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + 5 sumn=0^infty an x^n = cos 2x por :
Agora, ambas as somas estão em termos de , o que facilita a comparação com a série de .

Passo 6

Sabemos que cos 2x = sumn=0^infty (-1)^n (2x)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n 4^n x^2n(2n)! pode ser expandido em série de potências:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 + 5 an ] x^n = sumn=0^infty (-1)^n 4^n x^2n(2n)!
Assim, temos:

Passo 7

Comparando os coeficientes de (n+2)(n+1) an+2 + 5 an = (-1)^n/2 4^n/2n! & se n é par 0 & se n é ímpar dos dois lados da equação, obtemos:
ééí
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 8

Resolvemos a relação de recorrência para encontrar an+2 = 1(n+2)(n+1) ( (-1)^n/2 4^n/2n! de:
Aqui, é 1 quando é par e 0 quando ímpar. Isso separa os casos para coeficientes pares e ímpares.

Passo 9

Aplicamos as condições iniciais para encontrar y(0) = a0 = 0 e y'(0) = a1 = 1 :
Com esses valores, podemos iterar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes .

Passo 10

Calculando alguns coeficientes:
  • Para a2 = 12 cdot 1 ( (-1)^0 4^00! - 5 a0 ) = 12(1 - 0) = 12 :
a3 = 13 cdot 2 ( 0 - 5 a1 ) = 16(-5) = -56
  • Para a4 = 14 cdot 3 ( (-1)^1 4^12! - 5 a2 ) = 112 ( -42 - 5 cdot 12 ) = 112(-2 - 2.5) = -4.512 = -38 :
  • Para :
E assim por diante.

Resposta

A solução da equação diferencial y(x) = 0 + 1x + 12x^2 - 56x^3 - 38x^4 + dots com e é dada pela série de potências:
Onde os coeficientes seguintes são calculados usando a relação de recorrência estabelecida.

Exercícios relacionados