Resolva as equações diferenciais:
x \operatorname{tg}(y)-y^{\prime} \operatorname{sec} (x)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,\tan(y)-y'\,\operatorname{sec}(x)=0,
onde y'=\frac{dy}{dx}. O conteúdo aqui é EDO separável, pois podemos isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Reescrevendo em termos de \frac{dy}{dx}:
x\,\tan(y)=y'\,\operatorname{sec}(x)\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\;x\,\tan(y)\,\cos(x)\;=\;x\,\cos(x)\,\tan(y).

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e x:
\frac{1}{\tan(y)}\,dy \;=\; x\,\cos(x)\,dx.
Como \frac{1}{\tan(y)}=\frac{\cos(y)}{\sin(y)}, isso fica
\frac{\cos(y)}{\sin(y)}\,dy \;=\; x\,\cos(x)\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{\cos(y)}{\sin(y)}\,dy \;=\;\int x\,\cos(x)\,dx.
No lado esquerdo reconhecemos
\int \frac{\cos(y)}{\sin(y)}\,dy =\ln\bigl|\sin(y)\bigr|.
No direito usamos integração por partes u=x, dv=\cos(x)\,dx:
\int x\,\cos(x)\,dx = x\,\sin(x)-\int \sin(x)\,dx = x\,\sin(x)+\cos(x).
Logo
\ln\bigl|\sin(y)\bigr| = x\,\sin(x)+\cos(x)+C.

Passo 5

Exponenciando, obtemos a forma explícita da solução geral:
\sin(y)=C_1\,e^{\,x\sin(x)+\cos(x)},
onde C_1=e^C é constante arbitrária. Finalmente, isolando y:
y(x)=\arcsin\!\bigl(C_1\,e^{\,x\sin(x)+\cos(x)}\bigr).

Resposta

\boxed{\ln\bigl|\sin(y)\bigr| = x\,\sin(x) + \cos(x) + C} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{y(x)=\arcsin\!\bigl(C_1\,e^{\,x\sin(x)+\cos(x)}\bigr).}

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