Resolva as equações diferenciais:
e^{(2 y+x)} d x-e^{(2 x-y)} d y \equiv 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e^{(2y + x)}\,dx \;-\; e^{(2x - y)}\,dy \;=\;0
que veremos ser um caso de ODE separável, pois podemos escrever uma relação entre dx e dy em que cada variável fica em um lado.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, isolamos \tfrac{dx}{dy}:
\frac{dx}{dy} =\frac{e^{(2x - y)}}{e^{(2y + x)}} =e^{\,2x - y - (2y + x)} =e^{\,x - 3y}.

Passo 3

Agora separamos as variáveis, colocando todos os termos com x de um lado e com y do outro:
e^{-x}\,dx \;=\; e^{-3y}\,dy.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int e^{-x}\,dx =\int e^{-3y}\,dy \;\Longrightarrow\; -\,e^{-x} =\,-\tfrac{1}{3}e^{-3y}+C.

Passo 5

Multiplicando por -1 e reorganizando, obtemos a forma implícita da solução geral:
3\,e^{-x}-e^{-3y}=C.

Resposta

3\,e^{-x}-e^{-3y}=C

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