Resolva as equações diferenciais:
x^{2} d y+\left(2 x y=e^{x}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^{2}\,dy + \bigl(2xy - e^{x}\bigr)\,dx = 0
e pede sua solução geral. Trata-se de uma equação de primeira ordem e forma linear em y.

Passo 2

Vamos colocá-la na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Dividindo toda a equação por x^{2}, obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}\,y = \frac{e^{x}}{x^{2}}.

Passo 3

Identificamos P(x)=\tfrac{2}{x}. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(2\ln|x|\bigr) = x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{2}:
x^{2}\,\frac{dy}{dx} + 2x\,y = e^{x}.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto x^{2}y, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) = e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{2}y = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração. Finalmente, isolamos y:
y = \frac{e^{x} + C}{x^{2}}.

Resposta

y(x) = \frac{e^{x} + C}{x^{2}}.

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