Resolva as equações diferenciais
x^2 ux y+3 y^2 u=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação em derivadas parciais
x^2,uxy+3,y^2,u=0,
O conteúdo aqui é transformar a PDE a fim de separar variáveis e depois usar a superposição de soluções do tipo exponencial. Vamos precisar de uma mudança de variáveis que simplifique o coeficiente mista.

Passo 2

Definimos novas variáveis
xi = y^3, eta = 1x
Então
partialpartial x = detadx,partialpartial eta = -,1x^2,partialpartial eta = -,eta^2,partialpartial eta,
partialpartial y = dxidy,partialpartial xi = 3,y^2,partialpartial xi,

Passo 3

Calculemos uxy em (xi,eta).
uxy = partialpartial xl(uyr) = -eta^2,partialpartial eta l(3,y^2,uxir) = -3,y^2,eta^2,uxieta
Substituindo em x^2uxy+3y^2u=0 e lembrando que x=1/eta
x^2uxy = 1eta^2l(-3,y^2,eta^2,uxietar) = -3,y^2,uxieta,
então
-3,y^2,uxieta+3,y^2,u=0 ;Longrightarrow; uxieta-u=0

Passo 4

Temos agora a PDE simples
uxieta-u=0
Procuramos soluções separadas do tipo
u(xi,eta)=P(xi),Q(eta)
Então
uxieta=P'(xi),Q'(eta)
e a equação vira
P'(xi),Q'(eta)-P(xi),Q(eta)=0 ;Longrightarrow; P'(xi)P(xi);Q'(eta)Q(eta)=1
Cada lado é constante, digamos lambda. Assim
P'(xi)P(xi)=lambda Longrightarrow P(xi)=A,e^lambda,xi,
Q'(eta)Q(eta)=1lambda Longrightarrow Q(eta)=B,e^eta/lambda
Logo cada lambda produz a solução
ulambda(xi,eta) = C(lambda),e^lambda,xi+eta/lambda
Pela linearidade da PDE, a combinação linear contínua (superposição) dá a solução geral:

Passo 5

Voltando a (x,y), onde xi=y^3 e eta=1/x, a solução geral fica
boxed u(x,y) =integralGammaD(lambda), exp!l(lambda,y^3+1lambda,xr) ,dlambda,
em que D(lambda) é função arbitrária (determinda por condições de contorno) e Gamma é um contorno adequado no plano de lambda.

Resposta

u(x,y) =integralGammaD(lambda), exp!l(lambda,y^3+1lambda,xr) ,dlambda,
com D(lambda) arbitrária.

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