Resolva as equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação em derivadas parciais
O conteúdo aqui é transformar a PDE a fim de separar variáveis e depois usar a superposição de soluções do tipo exponencial. Vamos precisar de uma mudança de variáveis que simplifique o coeficiente mista.
Passo 2
Definimos novas variáveis
Então
Passo 3
Calculemos
em
.
Substituindo em
e lembrando que
dá
então
Passo 4
Temos agora a PDE simples
Procuramos soluções separadas do tipo
Então
e a equação vira
Cada lado é constante, digamos
. Assim
Logo cada
produz a solução
Pela linearidade da PDE, a combinação linear contínua (superposição) dá a solução geral:
Passo 5
Voltando a
, onde
e
, a solução geral fica
em que
é função arbitrária (determinda por condições de contorno) e
é um contorno adequado no plano de
.
Resposta
com
arbitrária.