Exercício 7. Em quais pontos do gráfico de f(x)=x^2x+1 a reta tangente é horizontal?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos do gráfico de f(x)=x^2x+1 em que a reta tangente é horizontal. Esse problema usa o conceito de derivada para determinar onde a inclinação da tangente é zero.

Passo 2

Sabemos que a reta tangente a uma curva em x é horizontal quando
f'(x)=0
Antes de derivar, observamos o domínio de f: como o denominador não pode ser zero, xneq -1.

Passo 3

Vamos calcular f'(x) usando a regra do quociente. Se
f(x)=u(x)v(x) com u(x)=x^2,;v(x)=x+1,
então
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =(2x)(x+1)-x^2cdot1(x+1)^2 =2x^2+2x-x^2(x+1)^2 =x^2+2x(x+1)^2 =x(x+2)(x+1)^2

Passo 4

Para achar onde f'(x)=0, igualamos o numerador a zero (desde que xneq -1):
x(x+2)=0 Longrightarrow x=0 ou x=-2
Ambos pertencem ao domínio de f.

Passo 5

Agora determinamos as ordenadas desses pontos:
f(0)=0^20+1=0, f(-2)=(-2)^2-2+1=4-1=-4
Logo, os pontos são (0,0) e (-2,-4).

Resposta

Os pontos onde a reta tangente é horizontal são (0,0) e (-2,-4).

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